OP

Éliminant j- et ^ entre les équations précédentes, il vient

Cette seule équation suffit, comme nous allons le voir, pour la détermination du plan tangent cherché. Elle donne, en effet, par la différentiation,

(4) o = xdxi -h x^Xt -^ zdzt -^^ Xi dx -^ Xi dy ~h Zi dz.

Or on a

Xidx-^X* rf>'-+-2, dz = o,

car la ligne OP forme avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à a?, , r, , js,, et cette ligne étant perpendiculaire au plan tangent de la surface donnée, f^it un angle droit avec une tangente à la surface S, qui forme avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx, dy, dz. L'équation (4) devient donc

(5) o = xrfj^i H- jrfji -h zrfz,,

et elle exprime que la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels a dx^^dy^y dz^, est perpendiculaire à celle qui forme des angles dont les cosinus sont proportionnels à a?,/, z^ c'est-k-dire qu'une tangente quelconque à la surface lieu des points Q, est perpendiculaire à la droite OM qui joint l'origine 0 au point correspondant M de la surface S. Le plan tangent cherché est donc perpendiculaire à cette ligne OM, ce qui s'accorde avec le résultat trouvé (14).

100. Les solutions des deux problèmes précédents ont présenté une simplification remarquable qui tient à une circonstance géométrique qui leur est commune; cette simplification se présenterait également pour tous les problèmes renfermés dans l'énoncé suivant :

Problème IU. — Les points d'une surface 2 se déduisent, suivant une certaine

loi donnée, mais d'ailleurs quelconquç, des plans tangents d'une surface donnée S ;

trouver le plan tangent en un point de la suif ace 2.

Soient a?, y\ z les coordonnées d'un point de la surface S ; le plan tangent en ce

point a pour équation

. K dz , . dz

Les coordonnées x^,y^, jz, du point correspondant de la surface 2 sont, par hypothèse, des fonctions données des coefficients de cette équation. Si donc on pose

dz dz

on aura

et par suite

Mais de Téquation on déduit

da:. = ^dp^^dq^^du. .

u=z--px-'qx

du=zdz — pdx — qdy — xdp — ydq, c'est-à-dire, comme on a, (54), dz = pdx -h qdy ,

du=i — xdp—ydq.

Par suite.

En éliminant dp tt dq entre ces équations, on obtiendra une relation de la forme

kdxx 4- Brfj, -h Cdz^ = o, dont on conclura, comme on Ta fait pour les équations (5) des problèmes I et 11,

que la normale k la surface 1 au point â^^yi, z,, fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à A, B» C.

Le succès de la méthode tient, on le voit, à ce que du s'exprimant en fonction de dp et de dq, on peut, sans différentiations nouvelles, former une relation du premier degré entre éJt, , dyt , dz^ . On peut remarquer que les valeurs de dxt , rf)^o rfz, , ne contenant que dp et dq, le plan tangent à la surface 2 est le même que si le plan dont on déduit les points de cette surface changeait de direction en passant toujours par le même point M; car/? et ^ sont les coefficients angulaires de l'équation du plan, et les variations dœ, dy, dz des coordonnées du point de contact ont entièrement disparu du résultat.

Ce résultat s'accorde avec ce qui a été dit (14).

101. Lorsque les points d'une surface se déduisent des points d'une autre surface et des plans tangents en ces points, le plan tangent en un point de la surface ainsi formée ne peut pas toujours se déduire de la connaissance du point et du plan tangent correspondant de la surface primitive. Nous donnerons cependant deux exemples de problèmes pour lesquels il en est ainsi.

Problème IV. — A partir des différents points dune surface donnée S, on porte, sur les normales à cette surface^ une longueur constante l; chercher la normale à la surface 2, lieu des points ainsi obtenus.

Soient a?, y, z les coordonnées d'un point de la surface S ; a, |3, 7 les angles que la normale en ce point forme avec les axes, et ^4 , jo z^ les coordonnées de l'extrémité de la longueur / portée sur cette normale ; on a évidemment

Xi =:a:-h/cosa,

j, = ^-l-/cosp,

Zi= z 4- /COS7, et, en difierentiant,

da^i z= dx -\- Id côs a,

rfy-, z^djr-h Id cos p,

dziz=zdz + Id cos 7.

Si OB ajoute ces équations après avoir multiplié la première par cos a, la seconde par cos |3, la troisième par cos 7, on obtient

cosadxi H- cos p rfy, + cos 7 dZi = cos a rfa: -h cos p rfj -+- cos 7 dz

-H / (cos a rfcos a + cos p d cos p -H COS 7 dcos 7 ). Or on a

cos'a -h cos* p 4- cos* 7 = I,

d'où l'on conclut en diflférentiant,

cos a rfcOSa H- cos p rfcos p -h cos 7 rfcos 7 = O.

iù± PREMIÈRE Partie. - calcul dippérentisl.

D'ailleurs la direction de la normale étant perpendieulaire à une tangente quelconque de la surface S, on a

cos a rfa: -f- cos p dr H- cos 7 rfz = o, et Téquation ( i ) devient alors

ros a dxt -H cos p dyt -h cos 7 rf^, = o,

d'où l'on conclut que la normale à la surface 2 au point ir<,^o 3, fait, arec les axes, des angles égaux à a, |3, 7, et qu'elle coïncide par conséquent avec la normal au point correspondant de la surface S. C'est ce qui a déjà été démontré (14).

Problème V. — O/i donne un point 0 et une surface S, on joint le point O à u/t point quelconque M de la surface S ; par le rayon OM on mène un plan contenant la normale MN de la surface au point M ; dans le plan OMN on élève, par le point 0, une perpendiculaire OP au rayon OM, égale en longueur à ce rayon: trouver le plan tangent à la surface lieu des points P.

Coupons la surface S par une sphère de rayon OM ayant son centre en 0 : il est facile de voir que le rayon OP défini dans l'énoncé précédent, et sur lequel on doit porter une longueur OP = OM, est perpendiculaire au plan qui touche, suivant la génératrice OM, le cône dont le sommet est en 0 et qui a pour base In courbe d'intersection.

Soient x.y^z les coordonnées du point M, x^.y^^z^ celles du point P; les rayons vecteurs OM et OP étant perpendiculaires, on a

(i) xxi -■\-)yx H- zzx = o.

De plus, la ligne OP étant perpendiculaire à la génératrice de cône infiniment voisine de OM, on a aussi

(2) Xxdx -\- yidy-^ z,dz =0.

fltr, dy, dz, désignant les difTérentielles de o;, y, 5, lorsqu'on reste sur la courbe d'intersection de la sphère avec la surface S. Si l'équation de la surface S est

dXf

dy.

dz sont définis

par

les équations