DIFFÉRENTIELLES DE QUELQUES FONCTIONS DÉFINIES GÉOMÉTRIQUEMENT

Différentielle d'une aire plane.

114. Il est impossible de passer en revue toutes les fonctions implicites. Nous avons vu (60) comment on différentie celles qui résultent de la résolution d'équations connues; nous nous bornerons à considérer, dans ce chapitre, l'aire d'une courbe connue et la longueur d'un arc de courbe.

Considérons d'abord l'aire comprise entre une courbe plane, l'axe des X, et deux ordonnées dont Tune est fixe et l'autre variable.

Cette aire NAMP est une fonction implicite de x, dont nous allons chercher la différentielle, en supposant, bien entendu^ que la courbe NM soit donnée par son équation.

Si l'on attribue à a? un accroissement infiniment petit dx, représenté par PF, l'aire considérée s'accroît du trapèze curviligne MPM'P', auquel on peut substituer le rectangle MKPP', car cela revient à négliger le triangle infiniment petit du second ordre MKM'. Or on a, en nommant/ l'ordonnée MP,

WLVV'=rdx.

La différentielle demandée est donc ydx et la dérivée de l'aire, par rapport à x, estj.

115. Le résultat précédent fournit la démonstration immédiate d'un théorème important:

Il existe toujours une fonction dont la dériçée soit égale à une fonction donnée ç {or) ,

iâO PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Pour trouver une telle fonction, il suffit, en effet, de considérer la courbe dont l'équation eu coordonnées rectangulaires est

Taire comprise entre une ordonnée fixe et l'ordonnée dont l'abscisse est x, est une fonction déterminée, qui, d'après le théorème précédent, a pour dérivée 9 (x),

116. Considérons, eil second lieu, une courbe plane rapportée à des coordonnées polaires, et cherchons la différentielle de l'aire comprise entre cette courbe, un rayon vecteur fixe OA, et le rayon OM qui correspond à l'angle u.

Si l'on attribue à Tangle o) un accroissement infiniment petit MOM' représenté par c/ro, l'accroissement de l'aire est le secteur MOM'; du point 0 comme centre, avec OM pour rayon, décrivons l'arc de cercle MP, on peut substituer à OMM' le secteur OMP, en négligeant le triangle infiniment petit du second ordre MM'P. Mais

le secteur OMP est égal à p* — ; telle est donc la différentielle de l'aire considérée, et la dérivée de cette aire par rapport à tù est ^•

117. On a besoin quelquefois d'exprimer la différentielle précédente en employant les coordonnées rectilignes; il est facile de déduire son expression du résultat que nous venons d'obtenir.

On a, en effet, en vertu des formules connues de transformation, en prenant pour origine des coordonnées nouvelles le pôle 0, et pour axe des X l'axe polaire,

tangw = -ï w = arc lang -*, on en déduit

et, à cause de a:* -+- j' = p^ ,

p'rfw = xdy — y^dx,

en sorte que la différentielle de l'aire AOM est

Cette formule pourra donner pour rfA une valeur négative; il suffit pour cela que l'on ait

xdy — jrdx <^ o ,

c'est-à-dire, en supposant x ^i dx positifs,

dx X

ce qui suppose que la parallèle menée par le point 0 à la tangente en M, dirigée dans le sens où x augmente, soit au-dessous du rayon vecteur OM, et que, par suite, l'angle w diminue lorsque le rayon OM tourne autour du point 0 pour se transporter sur OM'.

L'expression xdy ^ydx est donc négative, comme cela doit être, dans le même cas que l'expression équivalente p^dfot).

Différentielle d'un arc de courbe.

118. La comparaison directe d'un arc de courbe avec la ligne droite prise pour unité étant impossible, une définition est indispensable. Nous avons adopté la suivante : La longueur d'un arc de courbe est la limite dont s'approche le périmètre d'un polygone inscrit, lorsque ses côtés diminuent indéfiniment. 11 a été prouvé (18) que cette défiifition est légitime, et l'on en a déduit qu'un arc infiniment petit diffère de sa corde, d'un infiniment petit du troisième ordre.

Soit AM un arc de courbe plane, rapporté à des coordonnées rectangulaires OX et OY. Si, l'extrémité A restant fixe, l'abscisse de l'extrémité M reçoit un accroissement infiniment petit représenté par A a?, l'arc prend l'accroissement infiniment petit MM'. Or MM' peut (19) être remplacé par sa corde, qui n'en diffère que d'un infiniment' petit du troisième ordre, et cette corde est égale à

Le rapport de cette corde à Ao? est donc

et la limite de ce rapport, c'est-à-dire la dérivée de l'arc, est

La différentielle de l'arc s est le produit de cette dérivée par ctr, et l'on a , par conséquent,

ds=z sjdx^-^dy^ -Jf dz\

Lorsque la courbe proposée est plane, en la rapportant à deux axes de coordonnées situés dans son plan, on trouvera évidemment

ds= s/dx^ -H rfj'.

. 119. Appliquons la formule précédente à l'arc de cycloïde. Nous avons trouvé (83), en prenant pour origine des coordonnées le sommet, et pour axe des X la tangente à la courbe ,

on en conclut :

dx V 2« — j'

Or dfj a/— est la différentielle de isj^ay, La différence j— 'a \/aay est donc

constante puisque la différentielle est nulle. Si l'on compte l'arc s à partir du sommet de la cycloïde, les deux termes de la différence sont nuls en même temps quand on suppose y = o, et la constante est, par conséquent, nulle; on a donc

On reconnaît bien facilement l'identité de ce résultat avec celui qui a été trouvé (20).

120. Considérons actuellement une courbe plane AM rapportée à des coordonnées polaires. L'extrémité A restant fixe, si l'on nomme p et w les coordonnées de l'extrémité M, cet arc," que nous désignons par s, est une fonction de w, dont nous allons chercher la différentielle.

Attribuons à u un accroissement MOM' représenté par Aco, l'accroissement correspondant de l'arc j est MM' : A« étant supposé infiniment petit, l'arc MM' peut être remplacé par sa corde qui n'en diffère que d'un infiniment petit du troisième ordre. Or, en abaissant du point M une perpendiculaire MP sur le rayon vecteur OM', on a

mSF'^mtVmp'.

Décrivons de Torigine 0 comme centre, avec OM pour rayon, un arc de cercle MF, compris entre les rayons vecteurs OM et OM', on pourra, en négligeant toujours les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier, remplacer M'P par M'P', et MP par Tare MF. L'erreur commise dans la première substitution est en effet égale à PP', c'est-à-dire à la différence entre la longueur OM et la projection de cette longueur sur une direction qui forme avec la sienne un angle infiniment petit ; quant à la substitution de l'arc MP' à la droite MP, elle revient à remplacer un sinus infiniment petit par l'arc correspondant. On a évidemment

M'F=rAp,

MF= pA«.

Par conséquent, en négligeant les infinimeiU petits d'un ordre supérieur au second,

MM''=:Ap'4-p*Â^'.

La limite du rapport — — ? c'est-à-dire la dérivée de l'arc 5, est par conséquent

et l'on en conclut

ds= v^rfp»-i-p»rf«%

On a trouvé en employant les coordonnées rectilignes

ds^=dx^ '\- dy^y et en employant les coordonnées polaires

rfs»=rfp»-hp'rfw.

Ces expressions sont équivalentes, et l'on peut facilement passer de l'une à l'autre. On a, en effet,

j? = p cos w, ^ = p sin » , on en déduit

dx = cos w rfp — p sin « rf» ,

dy=^ sin »rfp + p cos6>€/o>» ,

et en ajoutant ces équations après avoir élevé au. carré les deux membres de chacune d'elles,

dx^ -H dy^ = Jp^ •+- p'dw'.

121. On détermine quelquefois les points de l'espace a l'aide d'un système de coordonnées analogues aux coordonnées polaires: OX, OY, OZ étant trois axes rectangulaires, un point M est défini par sa distance p à l'origine, par l'angle 6 formé par ce rayon vecteur avec l'axe des Z et par l'angle ^ compris entre le plan des ZX et celui qui passe par l'axe des Z et par le rayon p.

Pour exprimer la différentielle de l'arc d'une courbe rapportée à un tel système (le coordonnées, considérons, en premier lieu, une courbe située sur la surface d'une sphère de rayon p. Les points de cette courbe seront déterminés par les coordonnées 9 et ^. Les points qui, sur la sphère, correspondent a une même valeur de ^ sont situés sur un grand cercle dont le plan , passant par l'axe des Z, forme avec celui des ZX un angle égal à ^, et les points qui correspondent k une même valeur de 9 sont situés sur le petit cercle suivant lequel la sphère est coupée par le cône de révolution d'angle ô dont l'axe coïncide avec l'axe des Z : ie rayon de ce petit cercle est évidemment p sin 9. Le point défini sur la sphère par les coordonnées 9 et ij/ résulte de l'intersection des deux cetcles que l'on jvient d'indiquer, dont l'un peut être considéré comme un méridien de la surface sphérique , et l'autre comme un parallèle.

Les quatre cercles qui correspondent à deux points infiniment voisins, ayant pour coordonnées, l'un 9 et (j;, l'autre 9 -f- rf9 et tj; H- rftj^ , forment un rectangle infiniment petit : la distance des deux points est la diagonale de ce rectangle et peut être considérée comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont deux arcs de cercle infiniment petits, et que l'on peut assimiler à un triangle rectiligne; l'un des côtés de ce triangle appartient à un cercle de rayon p et correspond à l'angle dO^ il est égal à pdQ\ l'autre appartient à un cercle de rayon p sin 9 et correspond à l'angle </|, il est égal ^ pmiBd^i la distance ds des deux points considérés est par conséquent exprimée par la formule

Considérons maintenant une courbe quelconque dans l'espace. Chaque point de cette courbe est défini par trois coordonnées p, 9 et ^. La valeur de p fait connaître une sphère qui contient le point. Celle de 9 fait connaître un cône sur lequel il se trouve également, et if détermine enfin un plan qui, par son intersection avec la sphère et avec le cône, achève de le fixer. Ces trois surfaces, la sphère, le cône et le plan, se coupent deux à deux sous des angles droits ; si donc l'on considère deux points infiniment voisins, les six surfaces qui les déterminent formeront un parallélipipède rectangle infiniment petit, dont la diagonale est la distance des deux points. Le carré de cette distance, d$^^ est donc la somme des carrés des trois arêtes, c'est-à-dire, comme on le voit bien facilement.

ds^ = rfp' -h p»rfô»-i-p» sin^ôrf^I»»