La formule précédente peut 9e déduire de l'équation

ds* = dx^ ■+■ rf/' + dz*,.

On a, en effet,

z = p cos 0, X = p sin 9 cos ^, j = p sin ô sin +,

on en déduit

dz^i-^p sin edô 4- cos ôrfp,

dx=p cos ôrfô 008 4» — p sin ô sin r|»rfJ; -+■ sin Ô cos \|»(/p>

dx = p cos Orfô sin 4» -4- p sin 0 cos ^^rf^* -»- sin ô sin 4'rfp ,

et en ajoutant les carrés on trouve, après des réductions faciles» dx^ -f- rfj» -h rfz" = dp' -h p'rfo* 4- p' sin^ 0 d^\

Différentielle d'un arc de courbe dans un système de coordonnées

curvilignes.

123. Le système le plus général que Ton puisse concevoir pour représenter les points de Tespace, est celui dans lequel un point est déterminé par l'intersection de

^ trois surfaces données, de nature quelconque, et dont chacune se trouve définie par la valeur attribuée à un paramètre qui figure dans son équation. Supposons que les équations de ces trois surfaces soient résolues par rapport aux paramètres variables, et représentons-les par

Donner une valeur à a, c'est assigner une surface sur laquelle se trouve le point considéré; si l'on donne à la fois a et|3, le point est situé sur deux surfaces données et par suite sur leur courbe d'intersection; enfin la position du point est déterminée par l'intersection de cette courbe avec la surface qui correspond à la valeur choisie pour y.

11 est facile de calculer la distance des deux points infiniment voisins dont les coordonnées sont a, j3, y, a -+- rfa, |3 -h rfjS, y H- rfy. En nommant en effet ds cette distance, on a

ds^ = dx* -h rf/' -H dz^.

Mais X, 7, z peuvent être considérées comme trois fonctions de a, /3, y, et

l'on a

j dx j dx j^ dx j

J dz , dz ,^ dz J

et l'on voit, par suite, que l'expression de ds^ est de la forme

ds' = Arfa» 4- Brfp» -f- Cdf -h Drfarfp + Edady -f- Fdpdy.

124. Si les surfaces représentées par les équations données se coupent orthogonalement pour toutes les valeurs de a, |3, y, les coefficients D, E, F disparaîtront de la formule précédente, et l'expression de ds^ se réduira k la forme

En effet, dans l'hypothèse admise, les six surfaces qui correspondent aux valeurs a. jS, 7, or-hda, |3 -i- rf^, y-hdy des coordonnées, forment un parallélipipëde rectangle dont la diagonale ds a pour carré la somme des carrés des trai$ arêtes ; mais les arêtes sont respectivement représentées par ce que devient ds quand on suppose rfj3 = o, rfy = o, puis rfa = o, rfy == o, et enfin rfa = o, rf|3 = o ; leurs longueurs sont donc, d'après l'expression générale de ds^,

dxsfÂ, dpv^B, rfvVC, y

et l'on a, par suite,

rf5»=Ada'-hBrfp»-hGrf7%

en sorte que D, E, F sont nuls.

125. La considération du parallélipipëde rectangle infiniment petit peut nous donner également l'expression simple des coefticients A, B, C ; A rfa*, par exemple, est le carré de la distance des points infiniment voisins correspondant aux coordonnées a, /3, 7, a H- rfa, |3, 7. Si Ton nomme e cette distance, ses projections sur les axes des coordonnées sont respectivement égales aux produits de e par les cosinus des angles formés par sa direction avec ces axes; cette direction étant celle de la normale à la surface dont l'équation est

les trois projections sont représentées par

da doL

, ^ 'Sx , ' rfr

dx= — — — ; -> dx= ^

du.

et par suite l'équation

, rfa , dcL , doL j

da=z -j- dx -^ -r dY-\"T- dz dx dy -^ dz

donne

-=-v/(S)Mi)Mir-

Donc

~ /dcLY lda.\' (day

£* représentant, comme on l'a dit, le produit Ada', on en conclut on aura de même

et l'expression de ds^ devient

da} rfp»

ds' =

m-^m-ièï mHtïHf.)'

dy'

^^ïH^ï-m

126. Pour étudier les points d'une surface, on peut ad^mettre que cette surface fasse partie du triple système de surfaces coordonnées, et qu'elle corresponde à une valeur donnée de l'un des trois paramètres, de 7 par exemple. Dans l'expression-

précédente, il faudra alors supposer dy = o, et Iç carré de la dislance de deux points infiniment voisins prendra la forme

a et p étant les paramètres de deux systèmes de courbes qui se croisent à angle droit sur la surface donnée.

127. Les formules précédentes fournissent, comme application particulière, la formule trouvée ( 121 ) pour exprimer la distance de deux points infiniment voisins dans le système de coordonnées polaires défini par les équations

z = pcosÔ, a7 = psinOcos4», jr = psind sin>|», équivalant à

' p = v^:p' -h r* ■+- -sS 0 = arclang^^^ — ^, + = arciang-.

py d et ^ étant ici les trois paramètres désignés dans la formule générale par les lettres a, /3, y, on trouve le résultat déjà obtenu (122)

ds^ = rfp' + p'de» -h f sin* ô d^K

Si Ton veut la distance de deux points infiniment yoisins sur une même sphère de rayon p, il faut faire dp = o dans la formule précédente, et Ton a

ce qui s'accorde avec le résultat déjà trouvé.

128. Après le système de coordonnées polaires, le système de coordonnées curvilignes le plus fréquemment employé est celui dans lequel chaque point est déterminé par l'intersection de trois surfaces homofocales du second degré.

Supposons qu'un point soit défini par les valeurs que prennent en ce point les trois racines de l'équation en [i ,

b et c désignant des constantes données..

Pour chaque point de l'espace les trois racines de cette équation sont réelles. Si l'on suppose par exemple b^< c^, il suffit pour s'en assurer de faire successi- ^vement jui^ = -f-€, |x* = 6' — e, |x* = 6*-i-£, |x*=:c*— e, ][ji* = c'-h£, g étant

infiniment petit et positif. Le premier membre prendra les signes suivants ;

ft'z=zC'-\-€ -H

fi' = -f- X — I

et comme le premier membre ne devient pas infini pour les valeurs de fx comprises entre celles qui sont réunies par une même accolade, il faut qu'il s'annule dans chacun de ces intervalles, et l'équation a par suite trois racines, Tune comprise entre o et 6*, l'autre entre b^ et c^, la troisième entre c* et -f- oo . Si l'on adopte la première racine, la surface représentée par l'équation ( i ) est un hyperboloïde à deux nappes, elle est un hyperboloïde k une nappe si l'on adopte la seconde racine, et un ellipsoïde quand on adopte la troisième. En nommant jx, v, p les trois racines et supposant |ul^ > v^ > p*, les trois surfaces ont pour équations

j? "*■ ii^ — b^ "*" fi'— c' ^ ' •

on constate facilement qu'elles se coupent à angle droit.

129. En regardant comme coordonnées d'un point les valeurs de |x, v, p qui lui correspondent, la distance de deux points infiniment voisins prend une expression remarquable. Commençons par résoudre les trois équations (a). Pour y parvenir, décomposons en fractions simples l'expression

D'après la méthode connue fournie par l'algèbre élémentaire, cette fraction est égale à

en faisant

Si donc on a

' - T - >t^ "TTT? ~ "^ '

on en déduira pour X les trois valeurs, X = p*, X = /xS X = v* et les formules {i) font connaître x, y et 5î, en fonction des trois paramètres qui leur correspondent. On déduit des formules (2), en les difîérentiant après avoir pris les logarithmes des deux membres,

, xdo xdv- xd-tt

dx= — ^ -f- H 5

. zpdp ZiidyL zvd-^

et par suite, après des réductions faciles,

Si Ton suppose dp = o, c'est-k-dire si les deux points infiniment voisins sont sur Tellipsoïde dont l'équation est/9 = const. , cette formule devient

130. Sur chaque surface et à chaque système de variables, correspond une forme particulière de l'expression qui représente ds^. L'étude de ces formes a, comme on le verra plus tard, une grande importance pour la théorie des surfaces, mais nous nous bornerons à donner ici celle qui convient aux surfaces de révolution.

Surfaces de révolution, — En prenant pour coordonnées des points d'une surface de révolution, la longueur b comptée sur le méridien, entre le point considéré et un parallèle fixe, et l'angle w formé par le méridien avec un méridien fixe, on voit

UVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. m

immédiatement que l'expression de ds^ est àe la forme

A» = rf<r'H-(j>(<r)rf«'.

Soient, en effet, M et M' deux points infiniment voisins; AM, A'M' les méridiens qui leur correspondent; AM = c7, A'M' = c7 4-rf(7. L'angle de ces méridiens étant </&), on a

Or MP est égal à rfc7^ et M'P est un arc correspondant a Tangle rfw et décrit avec le rayon du parallèle, lequel dépend de c7, suivant une loi variable avec la nature de la surface, en sorte que Texpreesion est de la forme annoncée

131. Les formules générales que nous venons d^ faire connaître se présentent particulièrement dans l'étude générale des cartes géographiques. Si l'on suppose que la surface de la terre (quelle que soit d'ailleurs sa forme) soit découpée par deux séries de courbes orthogonales auxquelles nous donnerons les noms de méridiens et de parallèles, et telles, que par chaque point de la surface il passe une courbe de chaque espèce, définie par la valeur d'un paramètre que nous nommons a pour les méridiens (on leur donne le nom de longitude) et j3 pour les parallèles (on désigne ce paramètre sous le nom de latitude), pour représenter sur un plan une série dépeints situés sur la surface de la terre, il faut établir une dépendance entre les coordonnées x^y des points situés sur le plan, et les valeurs a, /3 des paramètres relatifs aux points correspondants de la surface. Si la distance de deux points voisins sur la surface de la terre est donnée par la formule

celle des points correspondants de la carte sera exprimée par

fis'" =:z(ix' -k- d)',

et la carte serait parfaite si le rapport ^ était constant. Malheureusement une telle

condition ne serait possible que si la surface de la terre appartenait à une classe de surfaces nommées développables, ce qui est très-loin d'avoir lieu.

Si le rapport -p ? sans être constant, est le même dans toutes les directions autour d'un même point, les petites portions de la surface ne seront pas déformées, et la carte devra être regardée comme satisfaisante pour une contrée de peu d'étendue. Mais nous aurons à revedir sur cette importante théorie et nous démontrerons qu'il existe toujours une infinité de systèmes remplissant cette condition.

EXERCICES

1. On donne sur un plan deux courbes quelconques, et l'on joint par des lignes droites les points de ces courbes pour lesquelles les tangentes sont parallèles ; par un point fixe on mène des droites égales et parallèles aux lignes ainsi définies-: prouver que Tare de la courbe, lieu de leurs extrémités, est la somme ou la différence des arcs correspondants des courbes données.

2. Si Ton considère, sur une lemniscate ayant pour équation p=' = a'cos2», deux points P et Q correspondants à des valeurs w' et w" de l'angle w telles, que Ton ail

cos J COS w''' = ^— »

Tare compris entre le point P et le pôle est égal à celui qui sépare le point Q du sommet correspondant à » = o.

3. Si Ton considère sur la parabole dont l'équation est 2 j = x^, trois arcs ayant leur origine au sommet, et pour abscisses de leurs extrémités les trois racines de l'équation

la somme algébrique des arcs est égale à celle des abscisses de leurs extrémités, c'est-à-dire à a.

4. Si l'on nomme points correspondants sur la courbe dont l'équation est jr^ =. i^a^x , ceux dont les abscisses Xx, Xi ont un produit égal à a*, la différence entre un arc quelconque et son correspondant est égale à l'excès de la différence des tangentes correspondantes aux extrémités du premier arc, sur la différence de celles qui correspondent aux extrémités du second, les tangentes étant comptées depuis leur point de contact jusqu'à leur intersection avec l'axe des X.

5. Une droite se meut en restant parallèle à la base d'un cylindre de révolution auquel elle est constamment tangente, le point de contact décrivant une hélice donnée. Chercher réquation de la surface qu'elle engendre et prouver qu'il existe un hyperboloïde de révolution tel, qu'en adoptant une loi convenable de correspondance entre les génératrices et les pojnts de deux surfaces, une courbe quelconque tracée sur l'une soit égale en longueur à la courbe correspondante sur l'autre.

6. Si l'on représente les points d'une surface réglée au moyen de deux variables u et v, dont l'une soit constante sur une génératrice et l'autre égale à la distance comptée sur la génératrice entre le point considéré et une courbe fixe perpendiculaire à toutes les génératrices, la distance de deux points infiniment voisins de la surface est exprimée par une équation de la /orme

ds^ = i/f^ + y { i», «) du*,

f {^, u) étant un polynôme du second degré par rapport à la variable c '