PQ

^ /dVd-Q p<i"-^'Q\ /rf'Prf^-'Q rfP rf^QX

/i(/i--i)...(/t.~A'+i) /rf*-^'Prf"~*Q rf*Prf"-*+'Q\ /rf"-^'P rf"P^Q\

En réduisant le second terme de chaque parenthèse avec le premier de la parenthèse précédente, et remarquant que la somme de deux coefficients de la puissance ^ième j'y^ binôme est un coefficient de la puissance (/n- ly*^, cette équation devient

rf^"+' rfar»-^' '^^'^^^^ dx dx^'^ 1.2 dx' rf:r— • "^ ' * '

(n + i)/i...(/iH- 1 — /r-f-i)rf*Prf"+'-*Q rf"^'P

"^ 1 .2. . ./r rf^ t/^+-* "^ ^ ^ rfï^ '

ce qui est la formule ( 2 ) dans laquelle n est changé en n+ 1 , et dont la généralité est ainsi démontrée.

140. Dérivées d' une fonction de fonction. — Soitw une fonction dea?, etç (u) une fonction de fonction que nous désignerons par j. On trouve en différentiant successivement et en représentant par ç>' (m), tp" (a), ç"' (a),. . . , les dérivées successives de la fonction f (m),

, . dr du . , .

et Ton voit aisément que l'expression de --J-^ est de la forme

A,, Aj, . . . , A„ dépendant de u et de ses dérivées, mais ne variant pas avec !a forme de la fonction (p.

Pour obtenir ces coefficients, posons

et, par conséquent,

Les coefficients B|, Ba,...,B;2 étant indépendants de la forme de f, on peut les déterminer en faisant sur cette fonction des hypothèses particulières. Nous supposerons successivement, ç {u) = a, ç (m) = m', . . . , tp [u) = a", et en appliquant l'équation (5) à ces différents cas, on obtiendra, entre les inconnues B,, Bj, . . . , 8,^, les n équations suivantes :

d" u dx*

^^^^ == 3B.a* -t- 3 B, tt 4- B„

' , , ^ = nB, M"-' -h -^^ B, M— ^ H i i-i-5 •' B3 w— ' H- . . -h B„.

Pour résoudre ces équations et calculer Tun quelconque des coefficients, B^ par exemple, ajoutons-les jusqu'à celle de rang k inclusivement, après avoir multiplié la

I k ik^ i) I k(k-^^i)lk 2) I

première par A . -» la seconde par ^- !■ --» la troisième par -^ '-^ — ,

la quatrième par

et ainsi de suite; toutes les inconnues B^, B2,..*. . , B^ disparaîtront, à l'exception de Ba- En effet, kf, étant un nombre quelconque inférieur à k, le coefficient de B;^/ est, après cette addition ,

k[k^i)...(k—k'^i) (^-hi) {k'-^2)

XA--!).. i {k'-^l)(k'-h2)...k'

c'est-à-dire

,-.)... i,.MA-.).-(^-^'-^.)r ,(;,,,)^(/^-A')(^-//-)..;

^(^-/M [ff — k'—i)...i-]

OU enfin,

Il y a exception quand on suppose A=^, et la somme est dans ce cas ( — i)*^* -^•

L'équation obtenue en ajoutant les équations (6) respectivement multipliées par les facteurs indiqués, est donc

i? '~"^"~^J Lm5^ i.a * w^ rf^" "^ 1.2.3 î?"Â? ~î? rf^* J'

D'après cela, la formule (5) fera connaître la dérivée n'^""' d'une fonction y (a), en fonction des dérivées n'*"*" de toutes les puissances de m, dont l'exposant ne surpasse pas n.

141 . L'expression trouvée pour représenter ~ peut se transformer de la manière

On a

Difterentions n fois les deux membres par rapport à œ, en traitant a comme une constante, nous aurons

"^V^"')^. ,ur kd'^u k[k-i)id'^u^ ^id'^un

dx" ^ ^ L ^ dx" 1.2 a' djc* ~ «* dx^y

et si l'on fait a=a dans le second membre, il coïncide avec l'expression de

B/t • Ht* On a donc enfin a*

pourvu que, dans le second membre, la lettre a, traitée dans les diiférentiations comme une constante, soit remplacée ensuite par la lettre u.

L'expression de J^"- est d'après cela

la sommation s' étendant à toutes les valeurs entières de k, depuis i jusqu'à n, et la lettre a qui figure dans le second membre devant être remplacée par u après la diflerentiation effectuée.