Supposons dans la formule générale u = œ*, nous aurons

^'(^=B.ç'(x')+^t"{^')+...+ — ?i-^?»(a:') + ...-H— ?^?"(a:»), et l'expression de B* devient

x^ ^ ' \x^ dx^ 1.2 x" dx"" ~ J7^* dx* J

Sans nous arrêter à réduire cette formule, il sera plus simple de calculer directement les dérivées successives de f (a?*), afin d'obtenir, par induction, la loi de leur formation. En posant

on trouvera par les difPérentiations successives

(5) ^ = (ax)'?"(a;') + i2(2x)'y-(a:»)+ la^'l^'),

(6) TT = (2x)»ç»(ar») + 2o(2x)'i>"(x»)H-6o(2af)f*(a:»),

et l'on est conduit à écrire

tZ = (3^)» ç- (a:») + n (»— 1) (ax)-'ç*-' (a;') + "("—') (»—^)(^—^)(2.c)^.y.-»(^»)...

les termes du second membre devant être arrêtés lorsque la loi évidente de formation donne des coefficients égaux à zéro.

Pour vérifier cette formule, il suffit de montrer que si on la suppose vraie pour une valeur de n, elle est vraie, par cela même, pour la valeur immédiatement supé-

rieure. Or en admettant la formule (7) le coefficient de tp"'*-*''' [x^) dans -r-^ est

évidemment

nin — i).. [n — 20^1], . , ^, n{n — i)...(n — 2p-h3) , . , , *^.

c'est-à-dire

ce qui confirme la loi annoncée.