Dérivées de arc sin a?. — On a

d arc sin x i

dx \/i — ar*

et par conséquent

rf"+* arc sin j: __ rf"(i — j;) ^(i + Jc)

et d'après la: formule générale (139)

rf"-»-' arc sin j: i >3.S. . .2/1— i i I /i 1 — x 1.2 /i— j-V

rf.r""*-' "^ 2»v^i— ^» (i— ^)'L^ 2/1 — I i+j; (an— i) (2/1 — 3) \i-h.x7 /t(/t-f)(/i-2) ''^ ' 1.2.3 /' — ^\V 1.3.5... (2/; ->i)

n(n^i)(/i-/> + i)/i-^y , . /iHfV . ^ 1.2.3. ..p \i-hW "^ \'-h^/ J

11 sera utile de remarquer que les coefficients des puissances de -^^— dans la parenthèse sont tous moindres que l'unité. Le rapport du coefficient de i '"" "^ ) à celui de (-^-^i est en effet

Or ce rapport est moindre que l'unité lorsque l'on a n —p>p -H i, c'est-k-dire n > a/? -f- 1 , et il est au contraire plus grand que l'unité lorsque l'on a n < 2/? -h i .

UVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. ii5

Les coefficients vont donc en diminuant depuis le premier jusqu'au coefficient minimum, et ils augmentent ensuite depuis celui-là jusqu'au dernier. Les coefficients extrêmes, qui sont l'un et l'autre égaux à l'unité, sont par conséquent plus grands que tous les autres.

Valeur numérique de quelques dérivées lorsque l'on suppose la variable

nulle.

146. On a souvent besoin de calculer ce que devient une dérivée pour une valeur numérique attribuée a la variable, et particulièrement lorsque, après l'opération, on suppose celle-ci égale à zéro. Les questions de ce genre se résolvent quelquefois à l'aide d'artifices particuliers, dont nous allons donner quelques exemples.

Dérivées de arc tang x, pour a? = o. — Il n'est pas nécessaire de recourir à l'expression générale de la dérivée pour déterminer la valeur qu'elle prend lorsqu'on y supposej?=o.

On a, en effet, et posant u = arc tang x ,

du I

dx I -h j:^ d^u nx

dx^ [i-hx^Y

et par conséquent

, . d^u du

En différentiant cette équation (n— i) fois, et faisant pour cela usage du théorème connu (139), on en déduit

('"^^') -^^ ^ ^ ('*-')^a^ -^ (n-,)(n-2) -^^^ -^ 2^ 5Ï^ et en supposant j? = o ,

\dx^^

on en déduit, si /n- i est impair, et en remarquant que i-j^) = ^^

Si n + I est pair, en remarquant que (^ ) = o, on déduit de la même équation