Démées de arc sin x, pour x = o. — Si Too pose

u = arc sin x , on en déduit

dx~ /r

* dx-''

-X du f-

x^dx "

dx*

chassant le dénominateur

^.d'u ■^Ux'

En diiïéreûtiant n — i fois cette équation et faisant usage du théorème connu (139), il vient

et en supposant x = o.

Si (/»-f-i) est impair, en remarquant que (^^j =i, on en déduit

et si n + I est pair, on a

(d^-^^uX

148. Dérwéesde [arc sin a?)*, pour a? = o. — Posons (arc sin xy = a, on en déduit du 2 arc sin x

d^u 2 a ^ arc sin X 2 j: </«

dx' I — j7» "^ I I — :r^ I — a;» rf^ '

par conséquent

, ,. rf*M du

En différentiant (n— i) fois cette équation, on a

, .d^-^-'u , . d^u , , . d^-'u dui , .d^-'u

et en faisant a? = o ,

et cette relation permet de calculer les dérivées successives, on a, si /i-h i est impair,

et lorsque n 4- i est pair,

149. Dérivées de x cot x, pour x=o, — Posons a? cota? = i/, on a évidemment

( I ) j? cos xr=: usïnx;

difTérentions n fois les deux membres de cette équation, on aura, en appliquant la règle relative a la dérivée d'un produit,

d" cos X d'-^cosx rf" sin x du rf""* sin x n{n — i) d*u rf*^' sin x

^ dx^ "^ '* rfjc^' "" " ~dx^ ^^dx' dx'*"' ^ 1.2 dx' dx^'

-h sin^ -j — dx"

Si, dans cette équation, on suppose a? = o, le terme en t— disparaîtra et l'on

aura l'expression de , ,, en fonction de toutes les dérivées précédentes; en faisant successivement n = i , n= 2, n = 3, . ^ . , on trouve

du d^u 2 rf'tt

et ces premières valeurs étant connues, l'équation (2) permettra d'en déduire les dérivées successives.

On peut remarquer que toutes les dérivées d'ordre impair sont égales a zéro; la fonction x cot x est en effet une fonction paire, c'est-k-dire qu'elle ne change ni de signe ni de valeur quand on y remplace x par —a?; en la désignant par 9 (a?), on a donc

et, en prenant les dérivées successives de cette équation ,

i4S PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On en conclut, en faisant a? = o, que, pour toute valeur impaire de n ,

et par suite

On trouve, en faisant les calculs numériques,

*(du\ fd'^\__^ /^'"\ (d*u\ 8 {d'u\ (d'u\ 288

(dUi\ /rf»a\ 8064 U^'J."''' \3^Jo~ 945'