Transformer l'expression

d^v d^v dx^'^ dx^'

dans laquelle v désigne une fonction quelconque de x et de /, en une autre dans laquelle xety soient remplacés par des variables r et d, liées aux premières par les équations

j7=rcosô, j=rsinO, équivalentes à

r'=.x»-i-j', 0 = arc tang-»

On a

et

d'ailleurs

, xdx-^rdr j^ xdr—rdx dr = î— ^ , {/e = — •^. ^ ■ 1

(rf^. . j...^ [xdx^ydy)^ ,, ___ ^ -r "7 ; ^ ^ (x'4- J») (cfcr» -j- dj») — [xdx -h rcfj)* (xrfj— jrfa;)^

CL r — — — ^— — ^-^— — — ^— ^— — — — — ^— — ^-^— — ;zs ' ■ I II. ;;^ ■ <

^3 ^ — 2(3:e/j:-hjrfj)(jr£(r— jrf^) __ ^ (j» — x^)dx dy — xrjdy'— dx') {x'-hr'Y {x'-hy')' '

et par suite

^■" dr' r' '^^ drdO r*

d^ {^ (xdjr — jrdxf ^ dvjx^y — ydxY ^ dv ry — x^)dxdy — xy^dy" — dx"") "^ t/0^ r* "^ dr 7^ ^ rfô ^ 7 '

et en égalant les coefficients de dx^ et de dy^ dans ces expressions de rf'^^, il vient

d^v d^vx^ 2xy d^v d^ v y^ dv y^ ixydv

dx^~~"dF? r»~ drdB'^ rfë^ r* "^ rfr P "^ "7^ rfô *

d^v d^ vy^ ixy d^v d^ v x^ dv x^ 2xy dv

d)^'^dr^7^^~J^ drdQ "*" !¥ r*""*" dr7^ r^rfe'

et par suite

d^v d^ if d^ if d'^vi 1 dv