Transformer l'expression
d^v d^v d*v dx' '^ly^'^lz''
en substituant, aux trois coordonnées ^, j, z, des coordonnées polaires p, 6^ t|/, liées aux premières par les équations
z = pcosô, . ^ = p sin Ô cos ij», / = p sinô sin>p.
Si nous adoptons d'abord comme variable auxiliaire le produit p sin 6, que nous représenterons par r, r et ij; pourront remplacer x et y, et comme on aura
x= r COS"^, y= rsin^,
un calcul semblable au précédent donnera
d^v d^v^d^if i d^if i dv dx' "^ 'dy^ "" ïr» "^ r» rf^ "^ r dr'
l'expression proposée devient donc
d^ V i d^ V i dv d^ir
dr^ r'J^ 'rUr
r dr dz^
Remarquons ensuite que, pour une valeur donnée de ij;, r et z sont deux coordonnées rectangulaires par rapport auxquelles p et 6 peuvent être considérés comme un système de coordonnées polaires; on aura donc
d^if d^v rfv i d^v I rfi/
dz^'^'dr^ ^l^^J'dW^JTp'
et par suite
> . . d^v d^v d^v d^v i d^v i d^v \ dv \ dv
^^ db^ ~^ Ip '^ d^ ~ 'dp^ '^ Y' 7B' '^ 7^d^ ^ 7 Tr '^ p dp'
Il reste à calculer t- : il ne faut pas oublier que, dans le calcul de cette dérivée,
^ et z sont considérés comme constants; i^ dépend alors de p et de 0, et l'on a
dv di^ dp dv do
dr dp dr (iB dr
D'ailleurs, z étant constant, l'équation pcosd = z donne
— p sin erfô 4- cosBdp = o.
Donc
^J==P lange.
De plus on déduit de l'équation p sin 9 = r
dp sin 0 + p cos Orfô = dr;
par suite, en vertu de la valeur trouvée pour -^ y
j . ^ cosôcfp , dp , ^
tfpsmô-f-- -J=dr ou -7*- = smÔ.
^ lang 0 dr
On en conclut
rfe sin 0 cos ô . dv dv . ^ dv cos 9
dr ptangO p dr dp d9 p
l'équation (A) devient, en y remplaçant ret-^ par leurs valeurs.
rf'(/ d'v d^v I /d^v ^dv\
d^ V 1 dv
p^sin'Ô d^'^ dp'^ p dp
183. Appliquons les méthodes générales au cas où les coordonnées rectilignes 07, y, z, sont remplacées par trois variables p, p,, p^, auxquelles M. Lanfié, qui en a fait un fréquent et utile usage, donne le nom de système de coordonnées cumlignes.
Soient
les équations de trois systèmes de surfaces se coupant à angle droit et pouvant être considérées comme partageant l'espace en une infinité de parallélipipèdes lectangles infiniment petits; à chaque système de valeurs des paramètres p, p,, p^, correspondent trois surfaces qui, par hypothèse, se coupent orthogonalement en un point aussi bien défini par les valeurs de p, p,, p^, que par celles de a?, j, z. Ces paramètres forment un système de coordonnées curvilignes,
M. Lamé a introduit utilement dans les calculs relatifs a cette théorie trois
J8â PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
fonctions A, A, et Aj, définies par les équations
Ces fonctions ne changent pas, comme on s'en assure facilement, si l'on remplace les coordonnées x, y, z par d'autres coordonnées rectilignes orthogonales. Cela
résulte d'ailleurs immédiatement de ce que, d'après ce qui a été dit (125), -j-t -jr^j -^ représentent les arêtes du parallélipipëde compris entre les six surfaces
qui correspondent aux valeurs p, p -+- rfp, Po j^i -f- dp^, p,, p^ -f- dp^ de nos paramètres. Or les dimensions de ce parallélipipède ne peuvent pas changer avec la direction des axes.
Cela posé, cherchons. d'abord à exprimer les dérivées de a?, y^ jz, par rapport à p, p^, jOa, en fonction de celles de p, p,, pa par rapport k a?, jet z. On a
Pour déduire de ces équations les dérivées de a?, y, z par rapport à p, p<, p^, résolvons-les par rapport aux différentielles dx, dy, dz. Si l'on a égard à ce que
'h T"^ Ti'i"^Ti'd"*'h'T"''^''* ^^^* '^^ cosinus des angles formés (96) avec les axes des coordonnées, par les normales à nos trois surfaces qui, par hypothèse, forment un système rectangulaire, on verra que pour résoudre les équations (2) il suffit de
les ajouter, après les avoir multipliées successivement par 7-, j^' h'^^ ^ ^'
• j dp i dût I f/o, . p ï dp i dpi I rfoj /^ . • •
puis par j, T/m^'-hî dr' ^* ^"^*" P^*" Âï rfi' â; i' /ÎT i* ^° t""""^* *"***•
* J ^ dp J i dùx J i dpi ,
J I dp J I dpi J I dp2 ,
, i dp J I rfp, , I dpi J
et, par conséquent, on a (57)
dx I rfp dx i rfpi
rfp h^ dx dpi h] dx
dy 2^ 1 d p dy i rfp,
dp li^ dy-^ dp, ~ h] dy^
dz 1 dp dz 1 dpi .
dp '~ h}dz^ dp, ~ h\ dz '
dx df,~
1 df, hldx'
de, dr-
I dp,
h\ dr'
dz dftt
I dp,
a; dz
que le produit ^ dp représente T accroissement infiniment petit de x, lorsque, p^
Ces formules peuvent d'ailleurs se démontrer directement. Remarquons, en effet, dx
et ps restant constants, p reçoit Taccroissement dp. Ce produit est donc la projection sur Taxe desX, de la normale infiniment petite comprise entre les surfaces qui
correspondent aux paramètres p et p h- rfp, et dont la longueur est (125) -4- Or
le cosinus de l'angle formé par cette normale avec l'axe des X est (96) ^ t^-
On a donc
dx j i j dp
Tp'^^=h^'^^di' •
et par suite, en supprimant le facteur dp^
dx i d p
dp h} dx
184. Nous allons maintenant calculer en fonction des coordonnées p, pt, p2 la somme
a laquelle M. Lamé donne le nom de paramètre du second ordre de la fonction v.
Et d'abord ce paramètre s'exprime facilement par ceux des variables p, pt, p^, elles-mêmes.
On a, en effet,
rfv dv dp dv dpi dv dp^
dx dp dx dpidx dpjdx^
d'v d^(dpy d^v [dp\^ /d^v\ /dp,y d'y dp^dp.
v^- dp' \dx) "*"rfpî \dx) '^\dp\) \dx)
rfjT'" dp' \dx) ^ dp] \dx) \dp\) \dx ) ^ dpidp.dx dx
d'v dpi dp d'^v dp dp, dv d^ p dv d^ p, dv d*f»j
dpjdp dx dx dp dpi dx dx dp dx^ dp, dx^ dpt dx^
et si l'on calcule, de la même manière, t-j et -7-7? on trouvera, en ajoutant et
ayant égard a ce que les surfaces sont orthogonales,
d^^^dP'^dz^-'' rfp'"^'*'rfpî ■^'*'rf^"^a^\,5P^rfP"*" rf?;
d^ /rf^P. . rf> . rflp.\ ^ rfi^ /rfVp; ^ ^>. ^ rf^pA ■^ rfp, V'3F '^ dy^'^ dz^ )^ dp,\dx' rfr* "^/
et par suite le paramètre du second ordre de s^ sera exprimé en fonction de p, p^ pa et des paramètres de ces trois fonctions, que nous allons actuellement chercher.
185. Les surfaces représentées par les équations p = const., p< = const., p^ z=z const., se coupent mutuellement à angle droit, quelles que soient les valeurs des constantes : or les cosinus des angles formés par leurs trois normales en un point avec les axes des X, Y et Z, sont
I dp
I dp
I dp, h^dx'
I dpx
t dp,
^ JF'
I dp.
I rfpa
1 dp, J,dz'
Ces neuf quantités ont donc entre elles les relations bien connues qui existent entre les cosinus des angles que font, deux k deux, les axes de deux systèmes rectangulaires, et Ton a, par suite,
rfp A /rfp, rfc, rfp, rfpi\
dx'^ hiht\dz dy dy dz j^ dp A /dpi dpi ^ dpx rfpA dy~ hihi\dx dz dz dx )^
dp A (^lléîl — ^l}.éSl\ dz "" A, Aa \ dy dx dx dy )^
dpi __ Ai f^Pid^ rfpa dp \
dx ~~ hhi \dz dy dy dz /
dpi A, /dpi dp ^ dpi dp \
dy A A, \dx dz dz rfx/
dpi A, /dpi dp dpi dp\
dz A A, \dy dx dx dy)^
dpi __ Jh /^ ^ f[f rfpi\ dx A A, \dz dy dy dz J
dpi Al fdp dpi ^ dp rfpA
dy A A, \dx dz dz dx )^
dpi Aa (dp dpi dp dpi\
dz A A, \dy dx dx dy j
Si de ces formules on. déduit ^-^ et ^— ^' en différentiant -^ par rapport à j, ..de
puis ^ par rapport à a;, on a, en égalant les résultats,
hxlh\dzdy dy djr^ dz dz djr^ 'Sy'dydzj dy \dz dy dy dz }
d — — ^^ /rf^pt rfp2 __ rf'pi û[p2 fi^pi rf'p2 c^pi ^^p»\ A, /la (dj^dp^ __ dpi </pA
hihi\dx^ dz dzdx dx dx dxdz dz dx^ ) dx \dx dz dz dx j^
OU bien, en ajoutant et retranchant, pour plus de symétrie, quelques termes qui se détruisent,
h Vdpi (d^pt d'p, d^\dp, /d^pi d^pi d' pAl hih, \dz \dx' "^ dy' "^ dz' ) dz \dx' rf^ dz' )}
[( d^ d^ d^\ l d^ d^ d^W 1 dp2 dz dpi dz dpi dz J I dpi dz dpi dz dpi dz \ 1 \dx dx. dy dy dz dz / \dx dx dy dy dz dz / J
dpi I dp2 A, A, dp2 hjh dp^ hx /h
dz \dx dx dy dy dz dz
dpi I rfp, hihi dp^ hxlu, dp^ hilh
dz \dx dx dy dy dz dz
mais en ayant égard aux formules (183), et remarquant que Ton a
déîl d^ d^ d^
dzdx dz 4y dz dz , dz
dx dp2 dy dpi dz dp^ dpi cette équation devient
h rfp. /rf'p, rf'p, rf'pA rfpw-V/»p. rf^p. du,\ dz . dz
/i,h,\jdI\d^'^~^'^'dF)~dz\dx^'^dy-'^dz^)'^"' dp, ' dp A
^ih fil Jhhi—iîih] Mi = o.
dz ' dpi dz ' dpi
186 PREMIERE PARITE. - CALCUL WFFÉRENTIEL.
On obtiendrait de même les deux suivantes :
[dit d^l dy \dx' "^ rf/» ^ dz' j dy \dx^ '^ dy* '*' dz^ j^ ' dp, ' dp, J
rfJL d —
dr dp, dy dp,
[dit di^~\ dp, (d'p, ^ d'p2 .d'p,\ dpiid'p, d'p, d'p,\ ., dx ., dx dx \dx' "^ rfr-" dz' ) dx \dx' "^ rf^ rfz» /"^"' dp, ' dp, J
-i^'hih' ^''^^ it h' —^ = o.
dx ' dp, dx ' dp, ' ' ËQ ajoutant ces trois équations après les avoir respectivement multipliées par -A, -h, -p., on trouve, toutes réductions faites,
dx dy dz
h\ \Tx' '^'^'^ dz' J"^ Jf. - "• En ajoutant les mêmes équations après les avoir niultipliées par ^'» -P^ -^%
. (d'p. d'p, rf'pA '^'"«a/ h* \ dx' '^ dy^ dz'}^ dp,
on trouverait de même
. (d'p d'p d-p\ '^'"g h h'\dx'^ dy»'^ dz')^ . dp
En ayant égard à ces équations, l'expression de t-^ + ~^ + ~^ trouvée ( 184j devient
d'y , d'i' , d'v,^{d'v . dv h,h,'^ JJ^,] , ,,( </''f dv h,h^hji \ dx'^ dy'^ dz'-" \dp'^ dp h ~dJ~/~^"'\dP,~^dJ,'Jr~7lj; /
"^"A^P. rfp. A' rfp> /' ou, ce qui revient au même,
/d — — /JiL— /JL-I^LX d' V d' V d' V A,A,./p "A^Arfp, '^ A A, rfp, )
5F -^ fTF ^ rfF - ""' "' \ dp -^ ~djr~ "^ ~'dir~J'
Si les cooi*données p, p,, pa sont des coordonnées polaires, de telle sorte que les surfaces orthogonales soient des sphères, p, et pa étant remplacés par 6 et ^, qui représentent habituellement les deux coordonnées angulaires, on a
Z=p cos 0, j: = psine cos 4/, X = p sin 0 sin ^, par suite
4» = iirc lang-?
ô = arc cos
La distance de deux points infiniment voisins étant
dp' = dp' -h p» rfô' + p» sin» 0 rf^%
on a
p psme
et par suite
d'v d'v d'v I rd / , . ,dv\ d 1 , ^dv\ d [ \ dv \'\
d^'^df'^iz^^T^ArpV^"'' Tpj-^T^^^^
ce qui s'accorde bien avec le résultat trouvé (182).
1. Enposantjc = cos/,réqualion(i — ar')^—:r^-f-a'/=o devient -^^-f.a»j=o.
