Une équation de la forme

(i) Pdx-hQdy-hJ^dz^o

ne correspond pas toujours à une relation entre jc, y et z. Il est facile de voir que les fonctions P, Q, R doivent remplir, pour qu'il en soit ainsi, une condition nécessaire. De l'équation (i), on déduit, en effet,

W dz = -^ldx-^dr,

et par suite,

donc

et par suite, en remarquant que P, Q et R contiennent :; qui est supposé fonction de X et de j,

dy dz dy dx dz dx" en remplaçant j- et 7- par leurs valeurs (3), effectuant et réduisant, on en déduit ,^, /rfQ rfK\ ^{dK dP\ „/dP dQ\

(^î ^[^-■^)-^^{di-dl)^''[d^-:^)='''

et cette équation doit avoir lieu pour toutes les valeurs de x, y et z qui satisfont k la proposée. Deux cas peuvent se présenter : ou l'équation (5) est identique, et alors la condition est évidemment remplie ; ou elle établit entre x, yetz une relation qui doit être la relation cherchée elle-même, et si Téquation (i) n'est pas une conséquence de l'équation (5), il faut conclure qu'elle est impossible.

Soit, par exemple, l'équation

(6) (6:r^^2 — 5 yz^) dx -^ [5 x\rz — ^xz')(/y-h [j^ x-j'^ ^ 6 xyz^) dz = o ;

en formant l'équation (5), on voit qu'elle est identique. La théorie précédente permet alors de se demander à quelle relation entre x.yeiz convient l'équation (6). Soit encore

(A) (2— r) dx-\-xdy-\- (j^ — z)dz = Oy

l'équation (5) devient alors

Or on en déduit

et comme les valeurs (B) et(C) de zetde dz rendent l'équation (A) identique, on doit en conclure que l'équation (A) est possible et qu'elle a pour solution unique

Soit enfin

zdx — ydy H-/ dz = o;

l'équation (5) devient, dans ce cas,

et comme 2=0 n'est pas une solution de la proposée, celle-ci est impossible et ne correspond à aucune relation entre a?, y et z.

218. Les résultats précédents peuvent être généralisés. Une équation entre quatre variables x^ y, z, u et une constante arbitraire, donne, par l'élimination de la constante, une équation différentielle totale de la forme

(i) Vdx + Qdy-\-l^dz -f- Srfw = o.

Mais il existe entre les fonctions P, Q, R, S, des relations nécessaires. Si, en effet, dans l'équation (i) on considère u comme une fonction des variables indépendantes X, y y z, et que l'on remplace du par sa valeur,

j du j du j du ,

dx^ dy, dz, étant arbitraires, leurs coefficients devront être nuls, et l'équation (i) entraînera par conséquent les trois suivantes :

En résolvant ces équations par rapport aux dérivées partielles de u qui y figurent, et écrivant que l'on a

d fdu\ d^ ldu\ dy \dx) "" dx \dy) '

d fdu\ ^ rf /du\ dz \dy) ~" dy \dz)^

d fdu\ jrf fdu\ dx \dz) dz \dx) '

on trouve, en ayant égard aux valeurs ^^ j" ' ^ ' ^i' ^^^^ supprimant les termes

qui se détruisent :

^ /rfP dQ\ „ /rfS dP\ - fdQ dS\

„ fdQ rfR\ „ /dS dQ\ ^ fdK dS\ ^[■^-■di)^^[-^-^)-^^(d^--dl)'='''

^ fdR dP\ /rfS rfR\ „ /rfP dS\

et ces trois équations doivent être satisfaites identiquement pour que Téquation (i) puisse se déduire d'une relation entre ^r, y, z, u et une constante arbitraire.

219. Lorsque p variables a?,, .rj, ..,a7p sont liées par n relations, contenant a /i — I constantes arbitraires, on peut éliminer ces constantes entre les équations proposées et leurs différentielles totales; le résultat de cette élimination est évidemment de la forme

(i) X.rfx, •+- X^dxi 4-. . .-\-\pdxp=zo.

Réciproquement, si une telle équation est donnée, et que l'on y considère p — n des variables comme fonctions inconnues des n autres, on pourra écrire immédiatement n équations qui sont la conséquence nécessaire et en quelque sorte la traduction de l'équation fi). Si par exemple it?,,a72,.,.,a7p.„ sont fonctions de^^„+,, ^p-«+2 , . . . , ^p» on aura

■T- dXn-p^y -+- -7- dXn-p^,-\ »" ;7^ ^

"•*•/>— 11+ 1 Ua,p — B-J.J U,A,p

et les autres différentielles s' exprimant de même, on pourra, après les avoir remplacées par leur valeur, égaler à zéro les coefficients des n différentielles arbitraires dxp n+i » do0p^n-h2^'"fdo0p; on obtiendra ainsi n équations entre p ^n inconnues. Si n est égal ou inférieur tàp — n, il n'existe aucune condition nécessaire entre les coefficients X<, Xa,..., X^; mais, dans le cas contraire, ces fonctions sont assujetties à des conditions sur lesquelles nous aurons à revenir.

EXERCICES

1. Éliminer les constantes a et 6 et former l'équation différentielle du second ordre à laquelle satisfait la fonction j définie par Téquation

xy = ae* -f- be-'.

2. Éliminera, b, c, rf et former l'équation différentielle du troisième ordre à laquelle

satisfatt la fonction 7 définie par . l'équation

On trouve

Lrf^ "^ \dx) dx] l\dx) ]^^ dx \d^^] ' 3. Éliminer la fonction arbitraire de Téquation

z X ^ \x xj

et en déduire l'équation aux dérivées partielles

dz dz

dx " a r

k. Éliminer les fonctions arbitraires de l'équation

z ■:= X 9 [ax + by) -f- r^p [ax -+- &j), et en déduire l'équation

dy^ dxdy dx^