ÉTUDE GÉNÉRALE DES SÉRIES

Définitions.

220, Une série est une somme composée d'un nombre illimité de termes; elle est convergente lorsqu'en ^ considérant un nombre de termes de plus en plus grand et les ajoutant dans l'ordre même où ils sont écrits, la somme obtenue s'approche indéfiniment d'une limite déterminée.

Lorsqu'une série n'est pas convergente, elle est dite divergente.

Les teirmes d'une série peuvent se succéder suivant une loi quelconque, être positifs ou négatifs, réels ou imaginaires, mais la condition d'être en nombre illimité exige que cette loi soit connue et permette de les calculer successivement, puisqu'il est impossible, comme cela a lieu pour un polynôme, de les écrire tous effectivement.

La formule algébrique qui exprime un terme en fonction du rang qu'il occupe se nomme le terme général de la série.

Quoique, d'après la définition, la série soit précisément la limite vers laquelle converge la somme des termes, on dit très-habituellement que l'on fait la somme d'une série lorsque Ton parvient à calculer la valeur de cette limite, et cette locution légèrement incorrecte est tout à fait consacrée par l'usage.

Quekjues exemples de séries.

221. Nous commencerons par donner quelques exemples fort simples de séries dont la somme est connue. La remarque suivante peut en fournir un grand nombre.

Appelons ai, «a,..., a„ des nombres quelconques assujettis à la seule condition que a„ soit infiniment petit lorsque n est infiniment grand; on a évidemment

(i) «1= (a, — aj) -4- (a,— aa)-!- (xj — «ij-i-. . .+ (a„, — a„)-f-. . . ,

et cette identité contient un grand nombre de séries.

Soient, en premier lieu, a, = i, «2= ^, «3=0?^,..., a„ = ic"~*, x désignant un nombre plus petit que l'unité; la formule ( 1 ) devient

(0.) 1= [i—x) (i-h^ + jc»4-... 4-^4-.'..)»

c'est-a-dire

formule importante et connue dès les éléments.

Soient encore a< = i , aa = - 1 • • > a„ = - 7 • • ; la formule ( 1 ) devient

formule curieuse, et Tune des premières que Leibnîtz ait trouvées en abordanl l'étude des séries.

Si l'on fait

on trouve de même

3 i5 '** (an — i)(2/i-+-i) et par conséquent

2 3 i5 35 '* (2/1— i)(2/iH-i)

222. Citons encore quelques séries remarquables sommées par Stirling par des considérations analogues, et utilisées dans son ouvrage sur la sommalion des séries.

On a, quel que soit z.

en effet,

z[z-\-i)^ z z-Hi '

(z-hi) (^-+-2) z-hi 24-2'

en ajoutant ces équations on obtient la formule annoncée. Nous rapporterons encore, sans nous arrêter à une démonstration rendue trop

facile par ce qui précède, les formules

2 Z (z-hl) Z (3 4-l) (2-1-2) (2-+-l)(^H-2)(z-h3)

Zz[z^\]{z-\-i] z{2-+-i)(z-h2)(2-l"3) (z-i-, y (2 -1-2) (2-1-3) (2-1-4)

4 z (s-f-i) (zH-2)(2-h3) 2(2-hi)(2-t-a)(2-h3)(2-+-4)

223. Si, dans la formule (i) du paragraphe précédent, on pose

ce c

a, = arciane-9 a,= arclang , 9 a;,= arc tang -, ■*"">

elle devient

c bc bc arc lang - = arc tang n -h arc tang ; — --777 rr 1

bc -h arc lang

(a-i-26j(rt4-36)-hc^ En supposant b = 2, a = i, c = i , il vient