I I X IX \ X

acol2:c = tang^-h- lang- -hylangy -+-. . .-h— tang — H -,

ce qui est précisément la formule annoncée.

225. La somme d'une série s'obtient quelquefois en décomposant chaque terme de manière à transformer la série proposée en d'autres plus simples et dont les sommes sont connues.

C'est de cette manière que Jacques Bernoulli a démontré les formules suivantes, déduites ingénieusement par Leibnitz de la théorie de l'intérêt composé, et qui sont des cas particuliers d'une formule beaucoup plus générale et fort importante que nous aurons a étudier plus tard. On a, quel que soit le nombre x positif ou négatif, mais en valeur absolue inférieur à l'unité,

= i-i-a:-|-A^-|-jr'-h. . .4-^"+ . . .,

(i — xf '

- =i4-4-2?-l-ïo^'4-2o^'-+-...-f-

UVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 2îK»

La première de ces séries est bien connue. Considérons la seconde et posons

Si Ton fait

. A = i-|-j:-Hjr»-i-a?*-h.. ., B= ar-h j:'-h^' -H. . .,

on a évidemment

S=A-hBH-C-HDH-...=. ^ ^ ^'

c'est-à-dire

"" i—x — i^i — xf

De même, si l'on pose

et que l'on fasse

A = i-h2^4-3a:*-|-4^*-l-- • .-h(»-l-i)^"-+-. . • , B= j; -I- 2 j;*-|- 3 x*H- . . H- njr" + , . ,

on aura évidemment

c'est-à-dire

Nous ne pousserons pas plus loin ces indications relatives à des théorèmes qui doivent être obtenus plus loin sous une forme beaucoup plus générale; bornons-nous à inscrire ici, comme facile à démontrer par un procédé tout semblable, la formule

= i-^nx-^'^ /ar»H i '-^ ^'^r'-h.. .,

{\ — Xf 2 ' 1.2.3

dans laquelle n est un nombre entier quelconque, et x un nombre positif ou négatif moindre en valeur absolue que l'unité.

-iiîO PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

226. La même méthode peut s'appliquer à la sommation de la série suivante

Si Ton pose

on a évidemment

h=A-|-B-hC-|-C-|-I)H =r 1 ' ^ — ^ •

mais le numérateur

i-h3jr4-5^'-+- 7^'-!-...

peut s'écrire de la manière suivante :

i-hx-hx^-hx^-i -f-2(\r4-2x'H-3^-}-. . .)= ^]

I — X il — Xi

et l'on conclut enfin

i — x (i— jr)»(n-.r)

(i— ^) fi— ^r

227. Le nombre de séries que l'on peut sommer ou de développements que l'on peut découvrir par des procédés analogues à celui que l'on vient d'indiquer est extrêmement considérable; l'énumération, si nous la faisions ici, en serait peu utile et nous écarterait d'ailleurs complètement de notre sujet ; nous laisserons donc de côté ces premiers exemples destinés à montrer toutd'abord avec quelle facilité des expressions très-diverses peuvent être développées en séries, pour nous occuper des règles de convergence et de quelques principes généraux relatifs au calcul des séries.

• Nécessité de la convergence des séries dont on /ait usage.

228. Les géomètres du xviu^ siècle attachaient peu d'importance à la convergence des séries. Les plus illustres d'entre eux ont employé des séries divergentes et paraissent s'être fait illusion sur le peu de rigueur des raisonnements où elles interviennent. On trouve cependant dans les œuvres de Jacques Bernoulli un exemple très-remarquable du danger qu'elles présentent, et c'est même à cause de l'absurdité d'un résultat, qu'il affirme la divergence de la série dont il s'est servi pour l'obtenir. Nous rapporterons cette démonstration, qui fournit un des

UVRE SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. • 231

arguments les plus simples et les plus concluants que l'on puisse présenter sur cette question qui, d'ailleurs, n'est plus douteuse aujourd'hui pour personne. Considérons la série

et désignons-la par S; nous aurons

OU, ce qui revient au même,

posons