X- étant un nombre fixe différent de zéro; on aura par suite
et les termes de la série proposée sont plus grands que ceux de la suite divergente
n w -4- I fi ~\- p
ils ont donc une somme infinie.
233. La réciproque du théorème précédent n'est pas exacte. Une série telle que le produit /iw„ tende vers zéro lorsque n augmente, n'est pas pour cela nécessairement convergente. On peut même démontrer, et c'est un théorème bien remarquable dû à Abel, qu'il n'existe aucune fonction ç [n] telle que toute série à termes positifs
n, 4- Uv -h T> --h ... -h Un H- ?/«-Hi -h . . .
soit nécessairement convergente si u„(p [n) tend vers zéro quand n augmente, et nécessairement divergente dans le cas contraire.
Pour démontrer cette proposition, remarquons que si la série a termes positifs
est divergente, la suivante
Test aussi. On sait en effet que Ton a (44) pour toute valeur positive de x,
par suite,
et en faisant successivement /i = c, n= a,...,
/(Mo-h«i) /Wo<~9
/(tto-h W|-+-. . .-h ««) — /(Mo-I- WiH-. . .4- M«-t)<-
et en ajoutant ces inégalités,
Wo M«-f-W, K»-|-«.-f-. . .-+-««-1
Si donc Mo -f- w« H-. . . -H M„ augmente sans limite avec n, il en est de même à fortiori du second membre de l'inégalité, et la série dont ce second membre forme les n premiers termes est divergente.
Cela posé, soit, s'il est possible, <p {n) une fonction de n, telle qu'une série quelconque à termes positifs
soit convergente ou divergente suivant que ç [n).Un tend ou non vers zéro lorsque n augmente ; alors la série
(p(lj flp(2) «»(«)
sera divergente, et la série
sera convergente; car, dans la première, le terme de rang n multiplié par ç(/i) donne pour produit l'unité, et dans la seconde, à cause de la divergence de la première série, le produit analogue tend évidemment vers zéro : mais, d'après ce qui a été dit plus haut, la série (i) étant divergente, il doit en être de même de la série (2), et l'hypothèse qu'il existe une fonction © (n) remplissant la condition admise implique' contradiction.
234. Quoique les séries à termes réels et positifs ne forment qu'une bien petite portion de celles que les géomètres ont a considérer, on s'est occupé souvent des conditions de leur convergence, et nous devons adjoindre aux théorèmes précédents quelques autres résultats intéressants auxquels leur étude a conduit.
Théorème. Lorsque dans une série à termes positifs
(A) i€i-\-U2-h' ..-hw«-f-w„+,-h. . .,
chaque terme est moindre que le précédent, la série (A) et la suivante
(B) Ui-\-afi^'\-aUi^^-ha^u^:,-{-. . . -ha"«^»-f- . . .,
sont en même temps convergente^ et divergentes, quel que soit le nombre entier désigné par a. Supposons d'abord que la série (A) soit convergente, désignons-la par S; on aura
ces inégalités sont faciles à établir. Considérons par exemple la dernière de celles qui sont écrites, les termes de la série (A) allant par hypothèse en diminuant, le second membre est plus grand que si tous les termes de la parenthèse étaient remplacés par Ma-, et par suite plus grand que
OU que
et à fortiori, puisque a est entier, plus grand que a" Uan.
En ajoutant les inégalités (G) on obtient, en remarquant que les indices se suivent sans interruption dans le second membre,
et comme la série dont les a" premiers termes figurent dans le second membre est par hypothèse convergente, le premier ne peut pas croître indéfiniment et la série (B) est convergente.
Admettons, en second lieu, que la série (A) soit divergente, nous écrirons les inégalités suivantes
qui toutes sont évidentes si Ton a égard a ce que les termes u^, u^, WaM*-» vont par hypothèse en diminuant.
En ajoutant les inégalités précédentes qui ont toutes lieu dans le même sens, on en déduit
(a — i)(aw^-ha'tt^,4-a»«^3-h...4-a-«^)>a^4-«^^,4-... -+-m^4-.,;
le second membre croissant par hypothèse indéfiniment avec /i, il en est à fortiori de même du premier, et la série (B) est, comme nous l'avions annoncé, divergente.
235. Cauchy, qui le premier a fait connaître le théorème précédent, s'en est
servi élégamment pour prouver que la série
iH H — -H... H h...,
a'* 3^ ni'-
est convergente ou divergente suivant que l'exposant positif /ji est plus grand ou plus petit que l'unité. Il suffit, en effet, d'appliquer à cette série le théorème général qui précède, en y supposant a = 2. On voit alors qu'elle est convergente ou divergente en même temps que la série plus simple
23G PUEMifcRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
c'est-à-diro
or cette série est une progression géométrique de raison I - j ? convergente si {i
surpasse l'unité, et divergente dans le cas contraire : la proposition est donc démontrée.
