Supposons maintenant que dans la série
le terme général u„ soit égal à ; nous pourrons, pour examiner la
condition de convergence, substituer la série
(B) u,-{-au^-ha^u^2-h- . . -^«"M^^-h. . . ,
où a désigne un nombre entier arbitraire. Le terme général de cette série est
'^ aMa''.(l.la«f n\a[\.(n\a)Y
Si fjL est plus grand que l'unité, prenons a supérieur à e et par conséquent 1 a plus grand que l'unité, le terme v„ est moindre que
n(\nf
c'est-à-dire (236) moindre que le terme général d'une série convergente; la série (B) est donc divergente, et il en est de même de la série (A).
Si [i est égal ou inférieur à l'unité, nous supposerons a = a , et, par conséquent, la moindre que l'unité; (^„ est alors plus grand que
c'est-à-dire plus grand que le terme général d'une série divergente; la série (B et par conséquent la série (A) est donc dans ce cas divergente.
On verra d'une manière toute semblable que les séries qui ont pour termes généraux î î etc., sont convergentes si a
nAn.\An,{\.\An)f /i.l n. 1.1». 1.1.1/1.(1.1. 1.lw)'* ^ ^
est plus grand que l'unité et divergentes dans le cas contraire.
Remarquons seulement que les logarithmes des nombres négatifs étant imaginaires, les premiers termes de ces séries ne sont pas réels, mais on peut les remplacer par des nombres arbitraires sans changer les conditions de convergence.
238. La considération des séries précédentes a conduit à des règles qui peuvent être quelquefois employées utilement pour prononcer sur la convergence d'une série à termes positifs. Soit une série
il est clair par ce qui précède que vs'il existe un nombre [x plus grand que l'unité, et tel que, pour de grandes valeurs de n, on ait constamment
la série est convergente. Si, au contraire, il existe un nombre /x plus petit que l'unité et tel que, pour de grandes valeurs de n, on ait constamment
la série est divergente.
Or l'inégalité ( i
) équivaut à
et par suite à
ou encore à
de même l'inégalité (a) peut être remplacée par
or il est clair que l'on peut satisfaire à la première de ces inégalités, en choisissant jUL plus grand que l'unité, pourvu que la fraction y^ ait une limite plus grande que
l'unité, et à la seconde en choisissant [i plus petit que l'unité, pourvu que -p- ait une
limite moindre que l'unité. Dans le premier cas la série est convergente, et dans le second elle est divergente.
239. Lorsque le rapport -p-^ a précisément pour limite l'unité, la convergence
ou la divergence de la série reste douteuse ; on pourra souvent en décider de la manière suivante. Il est évident, d'après ce qui précède, que la série dont le terme général est u„ est convergente si l'on peut trouver un nombre jx supérieur à l'unité et tel, que Ton ait constamment, pour de grandes valeurs de /i,
«(In)'*
la série est au contraire divergente s'il existe un nombre (jl inférieur à l'unité et tel, que Ton ait constamment, pour de grandes valeurs de n,
n(in)^ Or la première de ces inégalités peut s'écrire
>' (3) l^n{\nf.
c'est-à-dire
ou enfin
l'inégalité ( 2 ) équivaut de même à
Un
Pour qu'on puisse satisfaire à la première par une valeur de |x supérieure à l'unité,
il suffit que -^^ ait une limite plus grande que Tunité, et pour qu'on puisse satisfaire à la seconde par une valeur de jx moindre que l'unité, il suffit que la même expression ait une limite moindre que l'unité. Il y a donc convergence ou diver-
'hit
gence suivant que l'expression -—^ a une limite plus grande ou plus petite que l'unité.
Il est bon de remarquer que le numérateur 1 — étant égal à 1 1 /i, serait infiniment grand par rapportai .l/i, si les deux termes dont il est la différence n'avaient pas un rapport infiniment peu dilfférent de l'unité, c'est-à-dire si la règle précédente n'était pas en défaut; la nouvelle règle est donc particulièrement applicable aux séries pour lesquelles la précédente ne suffit pas.
Remarquons enfin que nUn tend nécessairement vers zéro, sans quoi, u„ étant
comparable à -9 la série serait divergente comme la série
iH h-r-h... H h ....
La limite de l'expression jj^ est donc positive dans les cas où il peut y avoir intérêt
à la chercher.
240. Si le rapport yy^ tend vers l'unité, la convergence ou la divergence de la
série restent douteuses. Pour en décider, on comparera alors le terme général m„ à
n\n(\An)f'
Si pour de grandes valeurs de n cette dernière expression surpasse u„, fjs. étant plus grand que l'unité, il y aura convergence; si au contraire on peut faire en sorte que, /JL étant moindre que l'unité, a„ surpasse l'expression (1), il y aura divergence.
Onconclutaisémentdelàqu'unesérieestconvergente si l'expression . . " a une
limite plus grande que l'unité, et divergente dans le cas contraire. On remarquera, comme au paragraphe précédent, que pour que la limite dont nous parlons ici ne
soit pas infinie il faut que le rapport -^ ait l'umlc pour limite. S'il en est I. 3i
2i0* PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
ainsi, -p aura lui-même l'unité pour limite, et par conséquent la troisième règle
servira précisément lorsque les deux précédentes n'auraient rien pu apprendre.
La série des règles analogues peut se continuer indéfiniment, mais les cas où elles peuvent s'appliquer deviennent de plus en plus rares, et il ne semble pas nécessaire de nous étendre davantage sur ce point.
