Considérons, par exemple, la série

le rapport d'un terme au précédent a pour limite l'unité.

En posant m„ = r ? on a

In n

et la limite de ce premier rapport est Tunité. On a ensuite

\An nl.l/i' la limite est zéro. La série est donc divergente.

Règle de Gauss.

242. Gauss a donné dans l'un de ses Mémoires une règle de convergence pour les séries à termes positifs, qui, sans être aussi générale que les précédentes, s'applique à une classe nombreuse et importante de séries. La démonstration donnée par l'illustre auteur est d'ailleurs tellement élégante, qu'elle mérite d'être reproduite pour elle-même.

Soit une série (A) a, -h Ma H-.. .4- M„ -H

Supposons que le rapport -^^ s'exprime par une fonction rationnelle du nombre n des termes qui précèdent m„, en sorte que l'on ait

(,) ir^^ ; :

Ce rapport tendant évidemment vers l'unité, la série n'est pas de celles auxquelles la règle (230) soit applicable. Le théorème de Gauss est le suivant :

Si la première des différences A — a, B — 6, ... , qui ne s évanouit pas est positive, les termes croissent avec n, et la série est divergente.

UVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. Ui

Si la première de ces différences qui ne s'évanouit pas est négative y les termes de la série sont décroissants lorsque n augmente.

Si les coe^icients h. et a sont inégaux^ les termes croissent sans limite ou tendent indéfiniment vers zéro; lorsque au contraire A — a est nul, les termes de la série tendent vers une limite finie et différente de zéro.

Le seul cas ou la convergence soit possible est celui où A — a est différent de zéro et négatifs et dans ce cas y « Ah- i — a est positif ou nul , il y a divergence, si A-h I ^ a est négatif 9 il y a convergence.

Nous allons démontrer successivement ces théorèmes.

i"^ Si la première des différences A — a, B — i,..., qui ne s'évanouit pas est

positive, le rapport — sera, d'après l'expression (i), constamment supérieur a

l'unité pour des valeurs suffisamment grandes de n, les termes de la série vont alors en augmentant.

a° Si la première des différences A — a, B — 6, . . . , qui ne s'évanouit pas est né--

gative, le rapport ^^ est inférieur à l'unité pour des valeurs suffisamment grandes

de n, et les termes de la série vont par conséquent en diminuant.

3^ Si les premiers coefficients k et a sont inégaux , les termes de la série croissent sans limite lorsque A -»- a est positif et tendent vers zéro si A — a est négatif.

Supposons en effet que A — a soit positif; soit h un nombre entier tel, que

A(A-a)>i; posons

Dans la série

le rapport d'un terme au précédent est

^n \ Un ) n-hl'

c'est-à-dire, en remplaçant -^ par sa valeur,

et comme on a supposé AA> Aa4-i, le rapport — est plus grand que l'unité

h lorsque n est très-grand ; — augmente donc avec w, et par suite u^ est infini en

même temps que n.

2i2 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Si A — a est négatif, pour prouver que u„ tend vers zéro, il suffit de considérer la série

précède

nt

sera

71^4- an^'' H-.. .

/i^-hA/i^-'-4-...

on en conclut, d'après ce qui précède, que — croît indéfiniment, et par suite u„ tend

vers zéro.

4° Si Von a A=^af les termes de la série tendent vers une limite déterminée qui nest ni zéro ni V infini.

Supposons d'abord que, A étant égal à a, la première des différences A — a, B — 6,... qui ne s'évanouit pas soit positive; soit h un nombre entier tel, que Ton ait

A-t-fc— B>i; posons

Dans la série dont le terme général est Vn> le rapport d'un terme au précédent est exprimé par

vn^x ^ Un^x {n^-^ir ^ 71^^'*+ A/i^-^^^-' -t-(B-- A) n^-^^*'^

et comme par hypothèse on a

le terme général (^„ diminue lorsque n augmente; mais, en vertu des équations (3), u„ est moindre que ç'„ en valeur absolue : et puisque v„ diminue, il est impossible que Un augmente sans limite, et comme ce terme est croissant avec n, il converge nécessairement vers une limite finie.

Si la première différence qui ne s'évanouit pas est négative, on pourra appliquer le raisonnement précédent à la série

tt, W, «3

et les termes de cette série tendant vers une limite finie^ il en est de même de leurs inverses m, , Ms»--» ^n-

UVRE SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 243

5^ Si A — a 4- 1 est positif ou nul, la série est diçergente. Soit h un nombre entier positif suffisamment grand ; posons

on aura ,

Si A -I- 1 —a est positif, ^„ augmente avec n lorsque n est suffisamment grand, car le coefficient de n au numérateur est plus grand qu'au dénominateur. Si A+ I —a est nul,— est encore plus grand que i, car les coefficients de n^

étant les mêmes, celui de n "^ est plus grand au numérateur si h est supposé suffisamment grand ; on aura donc, dans les deux cas, pour une valeur de n suffisamment grande,

et par suite, en remplaçant v^ et ^'„^., par leurs valeurs, et mettant au lieu de n, /H- I, /iH- 2,...

n — A+i n — AH-2 n — /iH-i

on en déduit aisément

(5) W„-+-tt,+, -h w«+j-l-...>(/i — A)w.. ( — ^H J— ; 1 ^-- !-...)>

^ ^ ' \»--yi « — n-f- I /l — /l-f-2 /

et comme la série qui figure dans le second membre est divergente, il en est à fortiori de même de la série proposée qui forme le premier.

6** 5/ A — a 4- I est négatif y la série est convergente.

Soit dans ce cas h un nombre positif moindre que a — A — i, je dis que Ton aura, pour une valeur suffisamment grande de n,

Un n '

Cette inégalité revient en effet à

Or on a, d'après l'expression de — »

24 i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et, comme A — a-4-i-4-A<o, cette fraction est, pour de grandes valeurs de /i, constamment moindre que l'unité. On a d'après cela

W,,^, < Un ï Un+2 < tt„+, ; < Un '- 9

n Al H- 1 /i./i-h 1

,. ^u ^LzdLtl^,, (/i-A-i)(/t— A)(n~AH-i) /iH-2 «(/iH-i) (n-f-2)

et par suite,

Or la somme des termes qui multiplient Un dans le second membre peut facilement se calculer. On a pour une valeur quelconque de n

/t — A — I ^ — I {n — A — i)(/i— A) n A 7ïh '

n — h — ï (/i — /i — i)(rt — /i) n — I (/i — Il — i)(/i — h){n — A-hi)

n — I {n — A — i)...(/i — A-hjg 4- 1)

A A./i.(/i 4- 1) ... (n-hp-h i)

La fraction qui forme le second terme du second membre tend vers zéro lorsque p augmente; car, si Ton nomme Çp la valeur générale de cette expression, on a

n — h-\- p + 7. p-\-[n — Ah-2)

iV "" n-^p-^1 ~' /n-(/i-h2) '

par suite, la différence désignée plus haut par A — a est négative, et Vp tend vers zéro. La série qui figure dans le second membre de (6) est donc convergente, et il est par suite impossible que le premier membre i/^j-f- w„+i -+-.... augmente sans limite. La série dont le terme général est w„ est donc convergente.

Méthode de M. Kummer.

243. M. Kummer a fait connaître une méthode à l'aide de laquelle on peut trèssouvent prononcer sur la convergence des séries à termes positifs. Cette méthode se distingue des règles précédentes par la grande indétermination qu'elle laisse subsister dans le mode d'application, et qui souvent est un avantage pour ceux qui savent habilement en profiter.

Soit la série à termes positifs Soient ç(n) une fonction quelconque de ai et a une constante arbitraire; posons

et l'oD aura identiquement

ainsi qu'on s'en assure en substituant a ^ (/i), ij^ (w -h i ),..., leurs valeurs fournies par l'équation (2).

Cela posé, supposons que pour de très-grandes valeurs de n, 9 [n) u„ tende vers zéro, et que, de plus, ^ (/i), ip (n 4- 1),... soient tous positifs; il est clair que le premier membre, qui est positif, tendra lui-même vers zéro, quel que soit k, et que, par suite, la série est convergente; nous avons donc le théorème suivant :

Soit(p{n) une fonction de n telle ^ que (p{n)un tende vers zéro lorsque n augmente et que de plus la différence

<f[n)Un <p(/l-+-l)««n-Ki

soit positive pour n infini: la série est convergente. La condition

peut s'écrire, si l'on suppose a positif,

elle sera toujours remplie, puisque a est arbitraire, si "^ " — y (n + i) a une

limite plus grande que zéro.

244. M. Kummer a fait connaître un second théorème qui permet d'affirmer dans un grand nombre de cas qu'une série à termes positifs est divergente. Conservons la notation du numéro précédent, et posons en outre

(3) 9{n)Un — tf{n-i'i)Un+i = Un+if(n).

Remplaçons successivement n par /i 4- 1, n 4- 2, 71 + 3,..., et ajoutant membre

à membre les équations obtenues, on aura, puisque u„(p{n) est nul pour n infini,

y(/i)M„=w^^., /(n)H-w„+,/(/i-M)H-w«+3/('H-2)-+-. .. , ou, en divisant par/(/i),

fin) -«- + "-' /(n) ■^"-' fin) ^

Si maintenant f{n) tend vers zéro lorsque n augmente, les coefficients qui dans le second membre multiplient les termes de la série primitive sont tous moindres que Tunité, et, par suite,

^in)Un

fin)

Si donc "^^^^"^ n'est pas nul pour n infini, la somme des termes qui suivent un

terme quelconque n'a pas pour limite zéro, lorsque le rang de ce terme augmente sans limite et la série est évidemment divergente; nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Si (f[n) est une fonction de l'indice w, telle que le produit (f{n)Uf, soit nul pour n infini, et que de plus des deux expressions

f{n)= J^ ' — ?(At4-i) et

fin) la première soit nuUepour n infini^ et la seconde positive^ la série est divergente.