La série

( I ) fla 4- «, ^ H" «a ^' -H . . . -h rt« .a^" H- ■ . .

a le même cercle de convergence que la série

fournie par les dérivées de ses termes.

Soit en effet R le rayon du cercle de convergence. La série (0 est par hypothèse divergente pour toute valeur de x dont le module surpasse R, et l'on sait (259) que pour de telles valeurs les modules de ses termes croissent indéfiniment. Si donc nous attribuons à x une valeur dont le module p, surpasse R, A;, étant le module de a„ , le terme a„ x" aura pour module

qui, d'après ce qu'on a supposé, augmente sans limite avec n. Le terme correspondant de la série (2) a pour module

(3) wA,.p"~' = --.A«p",

et il est évident que - augmentant lui-même indéfiniment, ce nouveau module est

infini avec n, comme le précédent. La série (2) est donc divergente pour les valeurs de X qui correspondent h des points situés en dehors du cercle de convergence de la première.

Attribuons en second lieu a la variable x une valeur dont le module p^ soit inférieur à R, le module du terme a,, x" sera

et la série dont ce module est le terme général est convergente et a tous ses termes positifs.

Le module du terme correspondant de la série (a) est

(4;- //\,.p;-'-..,Jgy"'.A.R''-'.

Or la série dont le terme général est ^ irA est évidemment convergente, car

le rapport d'un terme au précédent a pour limite la fraction ^ moindre que Tunité, et le facteur A„R''"* par lequel il faut multiplier 'i ( jr j pour obtenir l'expression (4), n'augmente pas indéfiniment. Il est clair, d'après cela, que la série dont le terme général est /iA„p"~' est convergente, et par conséquent la série (a) est convergente pour toutes les valeurs de la variable qui correspondent à des points intérieurs au cercle de convergence de la série (i).

Continuité des séries.

263. Lorsque les termes d'une série sont des fonctions continues d'une variable X, il semble évident au premier abord que la série, lorsqu'elle reste convergente, est elle-même une fonction continue de a?, et cependant cette assertion ne serait pas toujours exacte. Si les termes d'une série convergente

sont, en effet, fonctions continues de a?, il est clair que, x variant infiniment peu, chaque terme variera infiniment peu; mais en est-il de même de la somme? Comme elle se compose d'un nombre infini de termes, on n'est pas en droit de l'affirmer.

Considérons, par exemple, la série

(i) x [i — x) -h ^H\ — X' ) -^ x' {\ — jc')-f-. . .;

tant que x est moindre que l'unité, cette série est convergente. On peut l'écrire

et elle a évidemment pour somme

Si donc X s'approche de l'unité, la série (i), toujours convergente, acquiert des valeurs de plus en plus grandes ; or, pour x = i, cette série est convergente encore et a pour somme zéro, puisque tous ses termes deviennent nuls.

Cet exemple, auquel nous aurons occasion d'en ajouter un grand nombre d'autres, montre quelles précautions on doit apporter dans les raisonnements relatifs aux séries.

26i. 11 est facile de démontrer le théorème suivant :

Lorsqu' une série

dont tous les termes sont réels et fonctions d'une même variable x, est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre deux limites x^ et x^, et devient discontinue pour une valeur particulière a? = a, de telle sorte que pour x = a — e et X = a -h- e la différence des valeurs qu^elle acquiert reste finie quand s est infiniment petite la série des dérivées

duo dx

dut dx

dun dx

est divergente pour x =^ a.

Si Ton considère, en effet, Téquation

y est déterminé pour chaque valeur de a?, et, puisqu'il y a discontinuité pour x = a, la courbe dont les points ont x pour abscisse et j pour ordonnée se compose de deux

branches distinctes, telles que AP et QB. Si l'on prend n termes seulement dans le second membre, la courbe dont les points ont pour ordonnées la somme de ces n termes représentera nécessairement une ligne continue qui, par sa nature, n'est coupée qu'en un point par chaque parallèle k l'axe des j. Or une telle ligne ne peut avoir pour limite la courbe composée des deux arcs AP et QB sans s'approcher en même temps de la ligne droite PQ qui les réunit; le coefficient angulaire de la tangente, c'est-à-dire

du9 duy du„

dx dx ' ' " dx ^

doit donc devenir infini pour x == a.

265. La remarque précédente, faite explicitement pour la première fois par M. Duhamel, permet de démontrer simplement un théorème dû à Abel, auquel les progrès de la science ont donné une importance capitale.

Une série de la forme

tf. + a^x 4- a,jt=-l- . . . -h a„ JT" 4- . . .

est continue pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de a? qui correspondent aux points intérieurs à son cercle de convergence. Posons, en effet,

(i) x = p (cos^-i- v/ — I sin(j)),

la série devient

r/o-t-rti p (cos(p-h v^— I sin<p)-h«,p=(cos2<p-}-y/ — i sin 2y) -h. . .

-ha„p«(cos/i<p-|- v' — I sin/i(p) -H. . ..

Cette série est convergente pour toutes les valeurs de p inférieures au rayon R du cercle de convergence. On peut considérer ses termes, soit comme fonctions de la variable p, soit comme fonctions de la variable (p, et, en appliquant le théorème précédent, on verra que la somme est une fonction continue dep, tant que la série

a, (cosç-i-\/ — I sin«j>) H- 2aïp(cos2y-h V'— i sin2(p)-h.. .

-|-/ia«p"~' (cos/if-h v^ — I sin/if )-i-. . .

ne devient pas infinie, mais cette série ne diffère de celle que forment pour la même valeur de x les dérivées des termes de ( i ) , que par le facteur (cos9 4-^—1 sin(p); elle est donc convergente (262) pour les valeurs correspondantes aux points intérieurs au cercle de convergence de (i).

La somme de (2) est de même fonction continue de op, tant que la série

fl, p( — sin y -h v^ — i cosç)h- 2«2p'( — sin 2<p-|- v^ — i cos2(p) H-. . .

-f- /ia„p"(— sin w,<p-|- \/ — i cos n«p) -4-. . .

reste convergente; mais chaque terme de la série (4) est égal au terme correspondant de la série (3) multiplié par pyj— i; elles sont donc convergentes en même temps, et la série (1) est fonction continue des deux variables p eio pour les valeurs de 00 qui correspondent aux points intérieurs à son cercle de convergence.

266. Lorsque les termes d'une série convergente sont fonctions d'une variable œ, et que leurs dérivées forment elles-mêmes une série convergente, la fonction représentée par la série est, d'après ce qu'on vient de dire, fonction continue de la variable; mais il ne faut pas affirmer que toutes les fois qu'une fonction est développée en série convergente, les dérivées de ses termes par rapport à la variable dont ils dépendent forment le développement en série de la dérivée de cette fonction.

Soit, par exemple, la série

COS 2 JC COS v3 X cos 4 ^