I.TT =0,49714987269413385435127, I.TT* = I
TT* = 97 ,40909 1 o34o 02487 288 , et
— = 1 ,08282 82337 I I 188 IQl48,
en sorte que la valeur trouvée a i3 chiffres exacts.
257. On peut se deniander combien il faudrait calculer de termes pour avoir une approximation aussi grande. Soit x le nombre des termes, le reste négligé en
prenant x termes doit être moindre que -^- Or Terreur est approximativement
?^-^> et l'on trouve que cette fraction ne devient inférieure à -^ que pour
une valeur de x supérieure à 255oo.
Nous avons donc obtenu avec dix termes un résultat qui en exigerait 25 600 par calcul direct.
Séries ordonnées suivant les puissances d'une ^variable,
258. On fait un fréquent usage de séries ordonnées suivant les puissances croissantes d'une lettre qui reste indéterminée. Soit
une telle série.
L'étude de la convergence des séries de cette forme conduit au théorème suivant, qui est remarquable et important :
Si dans la série [Pi) les coefficients a^, a^,... a^ sont des constantes données et x une variable pouvant recevoir toutes les valeurs réelles ou imaginaires, la série étant convergente pour une valeur x = Xt de la variable, F est à fortiori pour toute valeur de X dont le module est inférieur à celui de x^ .
La série étant, en effet, convergente pour ^r = a?,, cela exige évidemment que le terme de rang n
tende vers zéro lorsque n augmente. D'après cela, soit M le plus grand module des termes de la série
(0 «o-+-a,^,-haa:rî H-. . . -f- a„a7"-i-. . . .
Si l'on substitue à x une valeur nouvelle x^, la série deviendra
que l'on peut écrire
(3) a„4.a.:r:.(|^)-^«,^;(g\V..,-ha.<(g)V....
Soit r le module du rapport — » les termes de la série (3) ont respectivement des modules moindres que ceux de la série à termes positifs
M-hM/'-f-Mr'-f-Mr^-f- hMr«-t-. ..,
qui évidemment est convergente; car c'est une progression décroissante. La série (3) est donc à fortiori convergente.
La démonstration pirécédente, sans qu'il y ait rien à y changer, prouve le théorème suivant :
Si pour une valeur x = x^ de la lettre ordonnatrice les termes de la série
ont des modules inférieurs à un nombre fixe M, pour toute valeur de x dont le module
est moindre que celui de x^ , la série est convergente.
259. Si une série ordonnée suivant les puissances de x est divergente pour une valeur x^ de la variable x^ elle est à fortiori divergente lorsqu'on donne à x une valeur x^ de module supérieur à celui de x^.
Si, en effet, pour x = x^\^ série était convergente, elle le serait (258) pour la valeur x = x^ dont le module est moindre.
Ainsi donc les valeurs de x qui rendent convergente une série de la forme considérée sont toujours celles dont le module est inférieur à une certaine limite.
Si l'on considère, par exemple, la série
elle est convergente pour toutes les valeurs de x dont le module est inférieur à l'unité et divergente pour celles dont le module est plus grand que l'unité.
En général, il y a doute pour les valeurs de x dont le module est précisément égal k la limite. Dans le cas de la progression ( i ), si l'on donne à x une valeur dont le module soit l'unité
X = cos (p -f- sj' — I sin <j>, la série devient
iH-cos<j>-+-cos2<p-f-cos3yH-...-hcos/i(p-f-...-f- v^ — i (sin<p-l-sin 2y-t-. . H-sin/iy-l-...);
elle n'est pas convergente, car les termes de la partie réelle et ceux de la partie imaginaire ne tendent pas vers zéro avec n.
260. Un grand nombre de théorèmes relatifs aux expressions imaginaires s'expriment ou se démontrent avec plus de simplicité ou d'élégance à l'aide d'un mode de
représentation dont nous ferons un fréquent usage. L'expression a -h 6^— ï ^st considérée comme correspondant h un point qui a sur un plan, par rapport a des axes de coordonnées rectangulaires, les coordonnées a et b. La distance de ce point à l'origine est égale au module de l'expression imaginaire, et l'angle qu'elle forme avec l'axe des x est V argument.
La somme de deux expressions imaginaires correspondant respectivement aux points BetC est évidemment représentée par l'extrémité d'une droite menée par l'un des points, parallèle et égale au rayon vecteur qui réunit l'autre à l'origine des coordonnées. La seule inspection de la figure permet d'en conclure que le module de la somme de deux expressions imaginaires est moindre que la somme des modules, et ce théorème s'étend par suite évidemment à un nombre quelconque d'expressions imaginaires.
261. Une série ordonnée suivant les puissances croissantes d'une variable x est, d'après le paragraphe 259, convergente pour les valeurs de x qui correspondent aux points intérieurs à un certain cercle décrit de l'origine comme centre. Ce cercle se nomme cercle de cowergence: son rayon peut être nul, et la série n'est alors jamais convergente; il peut arriver aussi qu'il soit infini, et la série n'est jamais divergente.
