LIVRÉ PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

À,, Aa, . . . , A„ dépendant de u et de ses dérivées, mais ne variant pas avec la forme de la fonction 9.

Pour obtenir ces coefficients, posons

et, par conséquent,

Les coefficients B,, B2,...,B„ étant indépendants de la forme de <p, on peut les déterminer en faisant sur cette fonction des hypothèses particulières. Nous supposerons successivement, 9 (u) = u, © (u) = 1/*, . . . , <p (u) = w", et en appliquant l'équation (5) à ces différents cas, on obtiendra, entre les inconnues B,, B2, . . . , B//t les n équations suivantes :

— —^aB.m-B.,

rffl(ws)

c/jc*

•---r-- = /lB' " + — B /#— 2 H " *-\r- — J B- //""- H- . . 4- B„.

doc1' 1 . •>. 1.2.3

Pour résoudre ces équations et calculer l'un quelconque des coefficients, BA par

exemple, ajoutons-les jusqu'à celle de rang k inclusivement, après avoir multiplié la

7 1 , ' 1 klk — 1) 1 , \ . ., A*(/r — i)(k — 2) 1 première par* . -> la seconde par * 1 —, la troisième par — ^-5 - — -

la quatrième par

et ainsi de suite; toutes les inconnues B19 B2, . . . , BA disparaîtront, à l'exception de BA. En effet, k étant un nombre quelconque inférieur à k% le coefficient de BA est. après cette addition,

klk -i ;...,'<•—//+ 11 k{k—i)...[k — k') ,f, . 1 2.3.../,' 1.2.3. ..//-m l "*■''

k(k-j)...{k—h,-i) [kï+^ijj/S + 2)

^/rfÀr-Q...! ;A-#-n)(fr/H-2Î. ..<■"!

c'est-à-dire

ou enfin,

Il y a exception quand on suppose £= k, et la somme est dans ce cas ( — i)*+l -k>

L'équation obtenue en ajoutant les équations (6) respectivement multipliées parles facteurs indiqués, est donc

i u __ .' u+, [£ &U __ k {k — Q jr du? k[k— i)(fr — s) j d" u\ __ ^ i çK^l

D'après cela, la formule (5) fera connaître la dérivée niime d'une fonction <p(u)9 en fonction des dérivées niemes de toutes les puissances de a, dont l'exposant ne surpasse pas n.

141 . L'expression trouvée pour représenter — J peut se transformer de la manière

suivante :

On a

Différentions n fois les deux membres par rapport à x, en traitant a comme une constante, nous aurons

et si l'on fait a=u dans le second membre, il coïncide avec l'expression de BA ■ -!• On a donc enfin

pourvu que, dans le second membre, la lettre a, traitée dans les dilférentiations comme une constante, soit remplacée ensuite par la lettre u.