Supposons dans la formule générale u = x2, nous aurons

d " 9 ( x* ) „ . . . . Bj „ , „ . B* , , , Bit , tk.

dx* Tv ' i.2fV ' î . 2 . . . Ar T v ' i . 2 . . . w T "

et l'expression de BA devient

' Bl=( ^.p^*2 *•(*■—) ' <*■*• ± ' rf"^l

x2* K j lx2 d.v» 1.2 x" dx* x*k dx* J

Sans nous arrêter à réduire cette formule, il sera plus simple de calculer directement les dérivées successives de 9 (#a), afin d'obtenir, par induction, la loi de leur formation. En posant

on trouvera par les différentiations successives

(3) JfrMVM + ^M,

(5) ^==(ajF).fB.(jr.)+ia(ftjr).?-r(^)+ ,2?"(*'),

;6) j^ = (2jr):'?T(^2)-h2o(2^)Jy,T(j:2)-*-6o(2j:)<p*,(j:a),

et Ton est conduit à écrire

■^ = (»*)V (**)+»(* — i)(a^)^T^'(x') + W^~1^"~aHw~3)(ag)^^(g«)...

n(/t — i)...(/i — 20-4-1), . ,„ „ „, ,x -H — \ 2] r (a*}-*fH-i' (*») + . . . ,

les termes du second membre devant être arrêtés lorsque la loi évidente de formation donne des coefficients égaux a zéro.

Pour vérifier cette formule, il suffit de montrer que si on la suppose vraie pour une valeur de n, elle est vraie, par cela même, pour la valeur immédiatement supérieure. Or en admettant la formule (7) le coefficient de <fn+*-p{x2) dans .—^ est évidemment

c'est-à-dire

!«x)-*+* n[n-i)...[n—*p + 3)[n—*p+*) fn — ap-4-i 1 1 l a.../>— 1 L P J

= (2*1-*- (»-M)»-.-(ii+i— a/»-hi)

ce qui confirme la loi annoncée.