PQ)

d>Q rfP d'Q

<?l l'on est conduit, par induction, à écrire la formule suivante :

//'(PQ) p (M) </P rf-'Q n(n— i) rf*P rf"~'Q

f ^ dxn dx* dx dx*~x i . 2 cAz' dfcr"-1

2; n(n — i)...(n — k+i)dkVd-*Q </"P

Pour démontrer cette formule, admettons qu'elle soit vraie pour une valeur du nombre nt et prouvons qu'elle est vraie, par cela même, pour une valeur immédiatement supérieure. Or en différentiant les deux membres de l'équation (2), on en déduit

dx*+x ~~ v/x dx" dx*+l ) "*" ' \ d*2 dx"- "*" dx rfx« J + . . .

;*;;< — i).,.(/t-A-4-i) /rf*+'P </-*<? rf'P </"-*+' Q\ /rf^'P d"P</Q\

"^ i.2.3...£ \rf.r*+' dx-* ~*~ dx' dx»-*+' j H +~ \dx*+> ^^ dx* dx}'

En réduisant le second terme de chaque parenthèse avec le premier de la parenthèse précédente, et remarquant que la somme de deux coefficients de la puissance nième (|»un binôme est un coefficient de la puissance, (n-t- i)ième, cette équation devient

PQ u </"+' Q , dV d"Q {n-hi)n d'P </— ' Q

dx*+x dxn+* l ^ j dx dx* 1.2 dx2 dx"

ce qui est la formule ( 1 ) dans laquelle n est changé enn+ 1, et dont la généralité est ainsi démontrée.

140. Dérivées d'une fonction de fonction. — Soit u une fonction de x, et f (u) une fonction de fonction que nous désignerons parj. On trouve en différentiant successivement et en représentant par <p' (a), 9" (m), 9" (a),. . . , les dérivées successives de la fonction <p (//),

ia) s=^*(M)'

et l'on voit aisément que l'expression de -j-^ est de la forme

'jP = A,,' (u) ■+- A, y («) + ...+ A»*» («),