Dérivées de arc tang x. — On a

d arc tangx i

dx i -+- x2

d2 arc tang x ix

dx* ~~ """* (n-*2)2' d3 arc tangx __ 6x* — %

dx* ~~ (i -+-**)*"

Il est facile de continuer les opérations , mais les résultats se compliquent de plus en plus, et la loi générale n'apparaît pas d'elle-même. Pour la découvrir, remarquons qu'en posant

u =r arc tang x , on a

^ = J=£lL[J L^l

dx \+x* i i x+v — i * — v — 'r

on en conclut

En réduisant au même dénominateur les deux fractions qui sont dans la parenthèse, on verra les imaginaires disparaître et l'expression de la dérivée prendra une forme réelle.

On obtient un résultat élégant en posant

on a alors

cos r = sin u = . >

J fT+x1

sin y = cos u =

<Ji + x>

x + v^— i = ^i-f-#a[cosj-f- v/— i sin j], „;, or— V—1 = Vu- ^r2 [cos/— v/--^î sin j] ,

mais le théorème de Moivre donne, pour toute valeur positive ou négative de m,

, * (cos x -h >/— -i sin x)w = cos mjr -h \J— i sinmx,

* (cos.r — ^ — i sin x)m = cosmx — \/— i sinmx.

Par conséquent,

et comme on a d'ailleurs

il en résulte

^^ = 1.2.3. .#*(— i)**-» sin"*' j-sin (#t + i) y.