Dérivées de arc sin x. — On a rf arc sin x

dx ^i — x*

et par conséquent

d*+l arc sin a: rf" ( i — jt) 2(i-f-.r)

cte-1- dx* '

et d'après la formule générale (139)

,/iH-l arr sjn

>in # t.3.5.. .2/1 — i i 1 n i — x 1.2 m-i-V

' ~~ a-i/i—x» (1— j:)"LI— a« — 1 i-f-* (an — 1) (211— 3) \i-h^/

<fo"^1 2" ^

n(n-i)(ii-a)

'•^ 1.2.3 /, — jgy^ i.3.5. .(2/^-1^

(2/1 — 1) (2/1— 3) (2/1 — 5) \i -h or/ (2/» — 1) (2/1— 3)...(2w — 2j>-hi)

11 sera utile de remarquer que les coefficients des puissances de -:=— dans la parenthèse sont tous moindres que l'unité. Le rapport du coefficient de ( ' ~~ x \ "*" à celui de ( — - ) est en effet

fa/» -4-1) (n — p) __

(2lt — 2/>— l) (/>+!) ^ !•

Or ce rapport est moindre que l'unité lorsque l'on a n —p>p-+- i> c'est-à-dire /i>2/? + i, et il est au contraire plus grand que l'unité lorsque l'on a n < zp 4- 1 .