LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Les coefficients vont donc en diminuant depuis le premier jusqu'au coefficient minimum, et ils augmentent ensuite depuis celui-là jusqu'au dernier. Les coefficients extrêmes, qui sont l'un et l'autre égaux à l'unité, sont par conséquent plus grands que tous les autres.

Valeur numérique de quelques dérivées lorsque ton suppose la variable

nulle.

146. Oq a souvent besoin de calculer ce que devient une dérivée pour une valeur numérique attribuée à la variable, et particulièrement lorsque, après l'opération, on suppose celle-ci égale à zéro. Les questions de ce genre se résolvent quelquefois a l'aide d'artifices particuliers, dont nous allons donner quelques exemples.

Dérivées de arc tang x, pour x = o. — 11 n'est pas nécessaire de recourir à l'expression générale de la dérivée pour déterminer la valeur qu'elle prend lorsqu'on y suppose x =o.

On a, en effet, et posant u = arc tang x9

du i

dx i -+- xd*u ix

dx7 (i + j2)j

et par conséquent

, ^d2u du

En difierentiant cette équation (n — i) fois, et faisant pour cela usage du théorème connu (139), on en déduit

, .d*+lu , , d*u , w .</—*/ d"u

(■-^ -a?- + 2 '"-'l'a? + ("—)(»-*) dx^ + 2X 7*

et en supposant x = o ,

ftlm+lu\ (d—lu\ ,

Uï=0. + UH."("-i,=bo'

on en déduit, si n •+- i est impair, et en remarquant que ( -j- ) = i ,

Si n -f- i est pair, en remarquant que ( -^ ) = o, on déduit de la même équation

/dn+lu\ __ 1. 19