Dérivées de arc sin x, pour x = o. — Si Ton pose

i£ = arc sin x , on en déduit

du i

</#""" /i — jr1'

— x rfa / . d2u

— x au i , a*u

^, — #*tfj; dx2

et en chassant le dénominateur

. d*u du

En difïérentiant n — 1 fois cette équation et faisant usage du théorème connu (139), il vient

, ^dn+xu , . dnu . w .dn~xu dHu , ,</*-'«/

et en supposant x= o,

Si (/1 + 1) est impair, en remarquant que (-7^) =1, on en déduit

et si n -h 1 est pair, on a

148. Dérivées de (arc sin x)*, pourx = o. — Posons (arc sin a?)2 = u\ on en déduit

du 2 arc sin x

dx ~~ *J\ — x%

d*u ___ ,2 • 2# arc sin .r 2 .r r/«

ûtr* 1 — x7 , *£ ~~~ 1 — x2 1 — x2 dx

par conséquent

, «\d2u du

En différentiant (n — 1) fois cette équation, on a , .d"+*u , . rf"w , , . dn'xu d"tt , ,d"-xu