LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. U

et en faisant x = o ,

dm+lu . . /</■-• a >

et cette relation permet de calculer les dérivées successives, on a, si /*-+- 1 est impair,

\dx»-»)9-°' et lorsque /i-f- 1 est pair,

149. Dérivées de xcot x, pour x = o. — Posons a? cota? = m, on a évidemment

(i) arcos.r= wsin x;

différentions n fois les deux membres de cette équation, on aura, en appliquant la règle relative à la dérivée d'un produit,

d'cosx d—lcosx tf"sin.r du dm-ls\nx n(n — i) d7u d*-'s\nx

X dx* ' "*" n dx-> "" U ~~dx^~ +ndx* dx-> H T~T~ dx* dx»~*

dxn

Si, dans cette équation, on suppose x = o, le terme en -7-7 disparaîtra et Ton

aura l'expression de . m t en fonction de toutes les* dérivées précédentes; en faisant successivement n = 1 , n= 2, n = 3, . . . , on trouve

du d*u 2 d3u

et ces premières valeurs étant connues, l'équation (2) permettra d'en déduire les dérivées successives.

On peut remarquer que toutes les dérivées d'ordre impair sont égales à zéro; la fonction x cot x est en effet une fonction paire, c'est-à-dire qu'elle ne change ni de signe ni de valeur quand on y remplace x par — x; en la désignant par <p(x), on a donc

et, en prenant les dérivées successives de cette équation,

On en conclut, en faisant x = o, que, pour toute valeur impaire de n ,

f {*) = — ? [o), et par suite

On trouve, en faisant les calculs numériques,

\dx')r0' \d*)r 945*

150. Dérivées de __ ? /*>i/r # = 0.— Posons — —— = m, on en déduit

(1) x'z=ue* — m,

et en dilYérentiant

rfw du

î =ex -} h ue* — -=-•

dx dx

En différenciant /1 fois de suite les deux membres de l'équation (i), on trouve dMu d*-{u n(n — 1) dm~2u dnu

et si Ton suppose x = o ,

(d*-lu\ n{n — \)fdn^u\ . 1 du\ , .

Cette relation permet de calculer Tune des dérivées lorsque Ton connaît toutes les précédentes; u0 est égal à l'unité. Le rapport > lorsque a: est infiniment petit, est,

en effet, la dérivée de e*, qui pour x=o se réduit à l'unité, et il en est évidemment

de même du rapport inverse — — • On a, en effectuant les calculs,

fdu\ 1 (dUi\ 1 (d*u\ (d'u\ 1 fd>u\

"'=*' ^.""'U^A^U?/.'0' \dx->)0=-^ \dx^)=°>

(dUi\ __ 1 (d^Ji\ (d%u\ __ L (d9u\— (d"u\ __ 5 fd"u\ __

\rf«,/.■"4a, W*1 J.~°' U*8/.~~ 3o' U*V-~~°' la?7/. ""66' V^FJ.- ^

Toutes les dérivées d'ordre impair sont égales à zéro, à l'exception de la pre-