LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

mière -7— On peut en donner la raison à priori, et indépendamment des calculs précédents ; la fonction

est en effet, comme on le vérifie aisément, une fonction paire de x, et, comme on Ta vu plus haut pour a? cota?, il en résulte que les dérivées d'ordre impair sont nulles pour x = o ; or ces dérivées, a l'exception de la première, sont les mêmes

que celles de —

1 51 . Dérivées de cos ( m arc sin x ) , pour x = o. — Posons

u = cos (m arc sin x),

on en déduit

du msin(roarcsin.r)

dx ~ ^/i — x3

d2u — mx . , , m2 cos (m arc sin x) -7- = , sin marcsin.r) p -7 ?

dx' (i-*.)^,.*. v («-*')

et l'on en conclut

, ,x d7u du

En dilTérentiant^ fois cette équation, on obtient

, ,sdP+*u dP+lu , . dfu dP+lu dPu dPu

ou, en faisant x = o,

D'ailleurs, pour 07=0, on a u= 1, -t-=o. Par conséquent l'équation précédente montre que toutes les dérivées d'ordre impair sont nulles. Quant a celles d'ordre pair, on les déduira successivement les unes des autres, puisque l'une quelconque d'entre elles se trouve liée à celle qui précède de deux rangs. On aura ainsi

L'étude de la fonction précédente a donné lieu à de graves difficultés que nous préviendrons en donnant, dès a présent, quelques explications sur le résultat précédent.

La fonction cos (m arc sin x) estune fonction mal définie, et, sous un même signe.

elle représente en réalité plusieurs fonctions différentes dont le nombre peut même devenir infini. L'arc dont le sinus est x n'est pas unique en effet, et l'on sait au contraire qu'il en existe un nombre infini; en multipliant ces arcs par m (qui est quelconque), les produits auront en général des cosinus différents, en nombre égal au double du dénominateur de m si m est commensurable, et en nombre infini si m est incommensurable.

Toutes ces fonctions différentes ont-elles les mêmes dérivées ?

Le résultat que nous venons d'obtenir semble décider la question, au moins pour la valeur particulière x = of et puisque nous n'avons trouvé qu'une seule valeur, on peut se croire en droit de conclure qu'il n'en existe qu'une. Ce serait là pourtant commettre une erreur grave. Le calcul précédent est fondé sur deux suppositions qui particularisent la fonction à laquelle il se rapporte. En premier lieu, après avoir posé

u = cos m (arc sin x) , nous en avons conclu

du sin m arc sin x -y— = — m — »

dx sjx — x*

admettant par conséquent que la dérivée de arc sin x est -. Or cela n'a

lieu (34) que si le cosinus de l'arc considéré est positif; dans le cas contraire on a

d arc sin x — i

dx ^, xt

et il aurait fallu écrire

du sin (m arc sin x)

dx )/l+X>

d'u mxsin (m arc. sin x) „ cos (marcsin x)

dx' (i — jr»)^7^Si ("-*')

d'où Ton aurait déduit

. ,. d'u du

(,-^as?-*E+m>li=0'

équation identique à celle que l'on a obtenue en adoptant l'autre hypothèse, et qui conduirait de même à la relation

Mais, en second lieu, nous avons admis qu'en faisant x = o, on a u = 1 , -j- = o.

Cela n'est vrai que si l'on admet, pour x = o, arc sin x = o, qui est la première valeur qui se présente, mais non pas la seule, car on a, pour x = o, arcsin# = #7r,

ioâ PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

analogue. Posons

u = sin (marc sin x) , on en conclut

du m cos (m arc sin.r)

d3u mx cos fui arc sin x) m*sin (marcsin.r)

le signe -h du radical devant être adopté lorsque arc sin a? a un cosinus positif, et le signe — dans le cas contraire. On déduit de ces formules l'équation

d'u . ,x du

dx->[l-x)-X-dï + mU = 0>

qui convient à tous les cas. En diffé rendant/? fois cette équation qui ne diffère pas de celle qui a été trouvée plus haut, on trouvera encore, poura? = o,

dp+*u dPu

D'ailleurs, poura? = o, on a

u = sin (marc sino) ==sinmA-7r

et

-7- = zfc m cos (m arc sin o) = ±m cos m/nr,

le signe -+- correspondant au cas où (cos arc sin x) est positif, et par conséquent au cas où k est pair. D'après cela on trouvera aisément

^-— = {-1)p m* [ni* - \). . .[m* — 4j»') sinmArK, ^^r==t(-i)/'(m2— i)(m' — 5) -[m'-(2/>-i)'].mcosm/f7r,

k étant un nombre entier arbitraire, le signe -+- convenant dans la seconde formule, lorsque k est un nombre pair. Si Ton suppose arc sin 0 = 0, c'est-à-dire si arc sin a? est le plus petit arc, positif ou négatif, dont le sinus soit x, on aura k = o et par conséquent

ÊS'=°' ^=-(-^(«,-0(m'-5)-.[m«-(V-.)»].in.