Dérivées de cos {m arc cos x), pour x = o. — Posons

cos (m arc cos x) = u,

Or on a, pour x = o,

11 = sin (m arc cos o) = sin ( 2 A* -f- i ) m - 1

(IU f x . , . 77

-j- = zn m cos m arc cos o ) = rp /// cos (2 k -+- 1 1 m - ?

dx V '2

A- étant un nombre entier arbitraire et le signe — de la seconde équation correspondant au cas où ce nombre est pair; au moyen de ces valeurs on trouvera

. 7HJhJ = (— i^m'^m2 — 4)(m2 — i6)...(mJ — 4na)sin (2Â-4- i)m - , d7*+l u

dxv

= ip( — ij'iti^m1 — 1) (m2 — 9). . .[m2 — (2 ai — i)*] cos (2 A* 4-1) m -•

156. Dérivées de ( 1 4- #2)2 si/t (m a/r tang a?), pour x = o. — En posant

11 = (i-+-j7>)a sin (marc langer),

et formant les dérivées -1- et -r-p on trouve, par l'élimination de sin (m arc tango:),

et de cos (m arc tang a?) entre les trois équations obtenues,

/ «\ d2u . x du

On en déduit, en diflférentiant^ fois,

,%d>+la dP+lu , .dPu , * dP+lu . , dPu

dPu dPu

et, en faisant x= o,

dx? dxP

d?+2 u dPu , w ,

dxT* = -dïF(m--P)(m-P-*)-

D'ailleurs, pour x = o (en supposant arc tang 0 = 0), on a

du u = o , -j- = m , ax

on en conclut,

a*^^' rf^^ = (^,)',w(w--0(/w-2)---(^--2W-^1)(^---2w)- Si on laisse k l'expression arc tango? toute sa généralité, on a

arc tang o =r kit ,