Dérivées de ^"» ^owr # = °. — En posant

cos m arc tang a:

et calculant m et -7- ? on vérifie facilement la relation dx

1 ,\ rf*'* / d*i . .

on en conclut, en différentiant p fois et faisant x = o,

fc 20.

et par suite, si/? est impair et égal àai+r,

dXl*+l

et si p est pair et égal à ik, d«u

dx*

/ji.(#w-|- 1). . .(m-h 2A* — i)(— i)\

Dérivées et différentielles d> ordre supérieur pour les fonctions de plusieurs variables indépendantes. Notation adoptée.

159. Lorsqu'une fonction contient plusieurs variables indépendantes, on peut en former la dérivée par rapport à Tune quelconque d'entre elles ; la notation au moyen de laquelle on représente cette dérivée est la même que dans le cas d'une seule variable indépendante. Si l'on a

les dérivées de u par rapport à x,y, z9 sont désignées (50) par -j-* — > -y-- Les dérivées du second, du troisième ordre, etc., par rapport à Tune de ces variables, seront désignées de même, conformément aux notations indiquées plus

, d7tt d*u d%u

haut, par^,^,^, etc....

Lorsque l'on prend la dérivée de u par rapport à xf puis celle du résultat par rapport a y, ou plus généralement lorsqu'on prend un certain nombre m de fois la dérivée par rapport à une variable x, puis un nombre n de fois la dérivée par rap-

port à y, on désigne le résultat de ces opérations par , , >w-

De même, si l'on avait à prendre la dérivée m fois par rapport à x9 n fois par

dm~*"**~p u rapport àj, puis/) fois par rapport à z, on désignerait le résultat par , , . p-

Possibilité d? intervertir les différent iat ions.

160. L'étude des dérivées prises successivement par rapport à des variables différentes, conduit a un résultat important. L'ordre des opérations n influe pas sur le résultat.

Pour commencer par le cas le plus simple auquel se ramènent tous les autres, supposons que l'on prenne la dérivée d'une fonction u d'abord par rapport à x, puis la dérivée du résultat par rapport à y, et prouvons qu'il reviendrait au même de

i;i8 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

rentiations k effectuer successivement, Tordre dans lequel elles s'exécuteront est indifférent. La démonstration est identiquement la même que celle qui sert en arithmétique pour prouver que Tordre de deux facteurs consécutifs pouvant être changé dans un produit, on peut, par cela seul, disposer tous les facteurs dans un ordre arbitraire.

Différentielles des divers ordres pour les fonctions de plusieurs

variables.

162. Soit u=y(x, y) une fonction de deux variables indépendantes. Si Ton attribue à chaque variable un accroissement infiniment petit, il en résultera, pour la fonction <p [xf y), un accroissement infiniment petit que Ton peut remplacer par tout autre infiniment petit ayant avec lui un rapport dont la limite soit Tunité. On a vu (54) qu'en désignant par dx etdy les accroissements infiniment petits des deux variables, on peut ainsi représenter l'accroissement correspondant de la fonction par

, du , du ,

Si Ton attribue de nouveau à x et a y des accroissements égaux a ceux qu'ils ont déjà reçus, du, qui est fonction de x et dey, aura lui-même une différentielle que l'on désigne par d1 u, et Ton aura

En attribuant de nouveau à x et a y des accroissements égaux à dx et à dy, d2 u, qui est une fonction de x et de y, aura une différentielle d*u donnée par la formule

d'u= d^d*' + 3dl^du°dr + 37l^d*dr + -d7drK

En continuant à former les différentielles successives qui correspondent à des accroissements constants attribués à a? et à y, on trouve par induction la formule

i d*u , dnu j , , nln — i) dnu , „ , , dmu , m

dnu = -t— dxn -f- n ■ , , dx—ldr-\ i ' ■ dxH~* dy2 -f- - . - -h -r-r dy" ,

dxn dxn~xdy J 1.2 ax*-*ay* J dy* J

que Ton écrit symboliquement

d"" = {Èdx+djdr)'-

Dans le second membre de cette formule, il faut remplacer les puissances de du par