LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES
des différentielles d'indice égal à leur exposant, ainsi
(duV (du\i
devra être remplacé par
dxP dp
Cette formule a été vérifiée pour les valeurs i , 2, 3, . . . , de n. Pour montrer qu'elle est générale, il suffit de faire voir qu'en admettant l'équation symbolique ♦
. (du , du , \*
on en déduit, en adoptant les mêmes notations,
. ^ /du , du , W'
d"+u=\dïdx+Trdn •
Pour le démontrer, remarquons que, d" u étant une fonction de x et de y, la différentielle est donnée par la formule
d*+xu = j-(dnu)dx-\- -7- (d*u)dr;
il faut donc prendre la dérivée par rapporta x de l'expression qui s'écrit symboliquement
(du , du , V
\T*d*+Tydn
ar
m **I t-iplier cette dérivée par dx, puis prendre la dérivée de la même expression par raF*F>ort ày, et la multiplier par dy. Or si Ton multipliait l'expression pai
du . du , • s^ + ^-r.
afi *» -de former
I du , du
(du , du , \"
[dïdx + djdr)
oï* ^Virait précisément les mêmes calculs à faire, et les résultats s'écriraient absoluîïl^1^ tde la même manière En prenant en effet la dérivée par rapport à x d'un terme
^^1 conque
K'd^dy.dxPd^'
et multipliant cette dérivée par dxy on trouve
dxr+idri,
dxr+'dy*
ce qui est identique, pour l'écriture, au terme qu'on aurait obtenu, en multipliant symboliquement
. dPu diu dxP dyi
par -j- dœ. De même en prenant la dérivée par rapport à y, et multipliant
par dy, les termes obtenus s'écriront de la même manière que ceux que Ton
obtiendrait, en multipliant l'expression par -^ dy, en sorte que l'opération qui
fournit la différentielle totale d"** u, conduit a écrire les mêmes termes que la multiplication par
du , du ,
Si donc on admet que dnu s'écrive comme
(du , du , \°
on peut en conclure que dn+l u s'écrira comme
(du , du , \*+'
\dicdx+Trdn '
163. La même règle s'applique aux différentielles d'une fonction d'un nombre quelconque de variables: si l'on a
u = l[x,jr,zf t),
on trouve, absolument de la même manière,
. (du . du , du . du , \"
'," = {Trdx+Trd> + Tz'h + -ïïldt)>
la puissance étant entendue symboliquement comme dans l'exemple précédent.
16i. Si une fonction dépend de plusieurs variables qui soient elles-mêmes des fonctions connues d'autres variables considérées comme indépendantes, on doit remarquer que les formules précédentes ne s'y appliquent pas. Soit, par exemple,
