LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. 1G

p et q étant des fonctions connues des deux variables x et y ; on a

/ % m du I du /

Car lorsqu'il s'agit de différentielles premières, peu importe le choix des variables indépendantes, et rien (138) ne les distingue essentiellement des autres. On peut donc supposer que/? et q remplacent x et y. Mais si Ton veut calculer d2u9 il ne faut pas oublier que l'on désigne ainsi la différentielle de du, lorsqu'on attribue, de nouveau, ko? et à y des accroissements infiniment petits égaux a ceux qu'ils ont déjà reçus. A ces accroissements égaux, correspondront, en général, des accroissements inégaux de p et de y, en sorte que, en différentiant l'expression ( i ; pour former d*u, dp et dq ne devront pas être regardés comme constants, on aura donc

,, dlu , , d*u , , d2u . du . du .

et en continuant ainsi l'on est conduit à des formules compliquées et rarement utiles.

Dérivées d ordre supérieur des fonctions implicites,

165. Les considérations précédentes permettent de calculer les dérivées d'ordre supérieur des fonctions implicites de plusieurs variables; la méthode la plus simple consiste souvent à former la différentielle totale de la fonction dont on veut avoir les dérivées partielles, et ces dérivées sont les coefficients des diverses puissances des différentielles de variables indépendantes, divisés respectivement par les facteurs numériques connus.

11 suffira de développer cette méthode sur un exemple. Soient

On propose de déduire, de ces équations, -t-^» , , » -j-~i P°ur y parvenir, nous

calculerons </' z, en supposant dx et dy constants, et quand nous l'aurons obtenu sous la forme

d1 z = Adx' -f- zBdxdy 4-Crf/',

nous aurons

— = \ — - =B — = C dx2 ' ' dxdy ' dy* "

Les équations proposées donnent, en remarquant que d2 oc et d2y sont nuls, mais que d2y. ne Test pas,

. d<? , do .

dz = -î- d x + -rflît, dx dot

dy = -T- dx -\ — TT- t/ a ,

dx7 dxd* da? d»

O =-r4 rftf2 -+- 2 -3— ^- dxda-j- —-I dz7-+- -y£ d'y.

dxi dxd a dz> dx

Éliminant entre ces équations doc et rf2a, on obtiendra, pour d2z, une expression de la forme demandée, et le problème sera résolu. On trouve ainsi

d>z d^j dx1 ~~~ f/jr1 rfx

/'y </* J^, / ^ \ ^ I </^ rfartfg d^ d*2 ( <[V\' I

d- z da} dy da?

rfrs""/rf+y rfa /rf+y

</2z //'<p <&r dy dxda dyd*ty dx

\</*/ \rfaj \rf«/

La même méthode permettrait de calculer les dérivées d'ordre plus élevé, mais les résultats deviennent de plus en plus compliqués.

166. On peut aussi chercher les dérivées de z successivement et en les déduisant les unes des autres. On a en effet, en différentiant les deux équations données par rapport à x, et traitant y comme une constante,

dz dy dy d*

dx ~~ " dx do. dx

__ rf+ dty dz ~~ dx d% dx