LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES lET DES DÉRÏVÉRS

et, par l'élimination de £ +*

dz dy dty d[a

fc=P=lx-dxJ± = ft^X>^ da

Les mêmes équations, différentiées par rapport à j, donnent

dz dy doc

dy ^ dady*

d\ do.

"~ da dy

et Ton en déduit

dy dz d%

p et q étant des fonctions connues de x et de a, il suffira de remplacer successivement dans ces formules la fonction <p par <p0 puis par y3, pour obtenir

/' /* 2T e' 7* c'est-à-dire les secondes dérivées de z. On trouve ainsi

rfy, " dx

dty da

dx dty

Ta'

dfft

dï

Ta~

és-

dy, da

dy,

dy7 " dx'

'd-ty da dx d^

On remarquera que -£ et -£- représentent l'un et Vautre .\ \ ilssont donc égaux,

ce qui établit une relation nécessaire entre les dérivées des fonctions <f{ et <p2. Si Ton voulait déduire de ces formules les résultats obtenus précédemment, il fau-

(Irait effectuer les différentiations par rapport à a; et par rapport à a qui ne sont ici

qu'indiquées sur les fonctions ?, et <p2.

EXERCICES

1. Si, dans une fonction y = y [x)> on donne à x des valeurs successives x, x-hhl9 x-hhi-hlh, .r-f-A, -f-A2-H As, .. . , et que les valeurs correspondantes de y soient

y, J«> y*> • • • y yn , le rapport , , , * j- a pour limite la niimê dérivée de y, lorsque hlf

A„. . », A„ tendent en même temps vers zéro.

2. Si une fonction finie et continue de x s'annule pour les valeurs x = xl9 x=xu. . ., x = xn> que nous supposons rangées par ordre de grandeur, on a pour toute valeur de x comprise entre xx et xH

<?(x) = lx — xx) (x — x7)...(x — xn)... 5LJ^ *

TV' v ' v ' v ' 1.2.3... n

y" (a) étant la valeur que prend la niimt dérivée de la fonction ?, pour une certaine valeur de x comprise entre xx et xm. On démontrera ce théorème en remarquant que l'équation

<p [x) — A [x — x^ [x — x7). . ,[x — xm) = o

admet, quel que soit A, les racines xlfXi,...,xm, et si A est tel qu'elle admette en outre une (n+i )*"• racine comprise entre xx et xH9 la niim dérivée

y"(x) — (i.a.3. . . n) A doit s'annuler entre les mêmes limites.