CHANGEMENTS DE VARIABLES

Influence de la variable indépendante sur les différentielles d'ordre

supérieur au premier.

167. Lorsqu'on ne considère que des différentielles du premier ordre, le choix de la variable indépendante est indifférent, et il n'est pas nécessaire d'en faire mention. Si Ton vient a changer cette variable pour une autre qui lui soit liée d'une manière quelconque, les expressions différentielles ne sont pas modifiées. Il en est tout autrement pour les différentielles d'ordre supérieur; pour qu'une différentielle seconde d2y ait un sens précis, il faut indiquer quelle est la variable

indépendante, et si x est cette variable, on écrit souvent, pour cette raison, '-^4 dx2

au lieu de d2y9 qui serait plus simple, mais moins clair.

Prenons pour exemple la fonction y = xk9 on a, en prenant x pour variable indépendante,

dy = 4#* dx, d}y = \ix'i dx*.

Prenons actuellement pour variable indépendante le carré x2 et désignons-le par u, on aura

>-=//', dy=?.u du , d *y = 2 du : .

Si on remplace u et du par leurs valeurs en x et dx, on déduit de là

dy = 4 x3 dx , d*y=8 x2 dx2 ,

et Ton voit que dy n'a pas changé, mais d*y n'est plus le même.

168. La raison du fait que nous venons de signaler est bien simple. Lorsqu'on prend x pour variable indépendante, dx est constant, et lorsqu'on adopte une nouvelle variable indépendante dont la différentielle est regardée comme constante, dx devenant variable, la différentielle du produit (f'ixjdx n'est plus la même.

Dans l'exemple choisi plus haut, on a posé x2 — u, et par conséquent x — \ //, dx = — ;=? d2 x = — - u' * du* .

m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL. '

Si donc on différence l'expression

djr = £x*dxt on a

d\y = \2.x7dxi-\-^xKd*x = 8x*dx',

ce qui reproduit le résultat obtenu plus haut, en montrant plus clairement encore pourquoi d2 y n'est plus égal à iix2dx2, et en quoi il en diffère.

Changement de la variable indépendante.

169. Lorsqu'on considère une fonction/ d'une variable a; et que cette variable est considérée comme indépendante, les différentielles dy9 d2y, d*y,..., ont été définies (133). Supposons que Ton veuille actuellement regarder comme indépendante une variable nouvelle / liée à x d'une manière connue; quelles sont les relations qui lient les différentielles dy, d*y,..., dny, aux différentielles de y prises dans cette nouvelle hypothèse? Pour résoudre cette question, nous représenterons les différentielles prises en supposant dx constant, par les notations dxy* d~yf d?y9...9 dnxy% et pour les différentielles relatives à la variable indépendante /, nous conserverons la lettre d privée d'indice, en sorte que dny sera la différentielle nième dey lorsqu'on considère dt comme constant. La dérivée dey par rapport à x est,

comme on l'a vu (48), représentée par -£•> quelle que soit la variable indépendante.

Soit t cette variable; cherchons la seconde dérivée dey par rapport à a?. Il faut, pour l'obtenir, différentier la fraction précédente et diviser sa différentielle par dx; on aura ainsi, pour l'expression de cette seconde dérivée,

dxd7y — dyd-x

d* r De même la troisième dérivée -t4 est égale, quelle que soit la variable indépendante, à la différentielle de la seconde dérivée, divisée par dx, c'est-à-dire en effectuant le calcul, à

dx*d3 r— d^drdlx—3dxad'tydlx-h3dydx1[dtx ^

dx1 ''

les formules demandées sont par conséquent

,, d-rdx — d'xdr

<lî y = — r-i •

dx*

,x d*rdx*—dxdrd*x—Sdxd*rdlx+$drld*xy

diy= -= : 2— - '-

Ces formules permettent de prendre telle variable indépendante que l'on voudra,