LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

ou même, ce qui est souvent plus avantageux, de laisser la variable indépendante indéterminée.

170. On devra, dans chaque application, faire usage de l'équation qui lie à x la nouvelle variable indépendante, et calculer les différentielles d2x, rf3 #,..., en fonction de cette nouvelle variable que nos formules laissent entièrement arbitraire. Considérons, par exemple, l'équation

rf'j x dy y

dans laquelle on veut poser x= cos/, et prendre / pour variable indépendante. L'application de la formule générale met cette équation sous la forme

dxydx — d7xdy x dy y

dx* i — x* dx i — x7

et la variable indépendante est alors arbitraire. Si Ton pose x = cos/, on en déduit, en remarquant que d2 1 = o,

dx = — sin tdty d7x = — cos tdt7, et l'équation (i) devient, après des réductions faciles,

171. Dans certains cas, l'application des méthodes générales conduirait à des calculs prolixes que des artifices particuliers permettent d'éviter. Nous donnerons,

comme exemple, la transformation de l'expression x" -t4 lorsqu'on substitue à x

la variable indépendante t définie par l'équation x = t', qui donne -^ = x. On a

d(^d*y\ d ( nd"y\dx l dHy d"+iy\ dny dn+{ y

par conséquent

d i d*y\ dny d"+iy

dt\ dx" ) dx" dx"*'

ce que l'on peut écrire abréviatement, en faisant usage d'une notation qui, pour être comprise, n'a pas besoin d'être expliquée,

xn+t -

dx"+l

En supposant n = i, on en déduit

, d'r ( d \ dy / d \dr

xdï> = \dt-,)xTx = \d-l)dl>

et, par suite, en supposant successivement n = q, n = 3,,.., on trouve aisément la

formule générale

\ dy dt*

d»y Vd , C\ Vd f H (d \d\

on a, par exemple, en faisant n = 3,

3//3r/(rf \ fd \dy d*y ~d*r dy

x dx>- W 7 \di I dt "lFF~6'dF+7' dt'

172. Nous ferons ici une remarque qui peut être souvent utile. Lorsque la variable indépendante est restée indéterminée, on conserve le droit de la fixer ultérieurement d'une manière arbitraire. Si donc on fait, dans les formules trouvées, d2cr = o, on obtiendra les expressions auxquelles on serait directement parvenu en prenant x pour variable indépendante; en changeant ensuite, dans ces formules, la variable indépendante x pour une variable arbitraire /, on devra retrouver les formules primitives; si cela n'a pas lieu, il y a eu erreur dans les calculs.

Supposons, par exemple, que y = ^(x) étant l'équation d'une courbe, on ait trouvé, en résolvant un problème relatif à cette courbe, pour expression d'une certaine ligne, géométriquement définie,

i ___ dxdiy-hdyd2x a dxl -H dy*

aucune variable indépendante n'ayant été choisie. En faisant d2x = o, on aura

i dxd*y

a dx*~+- dy*

Pour repasser de là, à la formule générale relative au cas où la variable indépendante est quelconque, on doit remplacer dxd2y par dxd2y — dyd2x, et l'on trouve ainsi

i dxd2y — dyd\r

a ~~ dx3 -h dy J

Ce résultat ne s'accordant pas avec la formule primitive, celle-ci est impossible, et, sans connaître les calculs qui l'ont fournie, on peut affirmer qu'ils sont inexacts.

Changement simultané de toutes les variables.

173. On a quelquefois occasion de changer à la fois toutes les variables d'une formule et de les remplacer par d'autres qui aient avec elles des liaisons données;