LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

c'est ce qui arrive, par exemple, lorsque, dans un problème, on substitue les coordonnées polaires aux coordonnées rectilignes. Le problème général qu'il faul résoudre est alors le suivant :

y étant une fonction de x, substituer a ces variables deux variables nouvelles // et v9 qui en sont des fonctions connues, et exprimer les différentielles de x et celles de y en fonction des différentielles des variables nouvelles u et v.

Pour résoudre cette question, il faut d'abord préparer la formule que Ton veut transformer, de manière à ce que la variable indépendante soit arbitraire ; cela fait, on n'aura plus qu'à calculer dx, dy, d*x, d-y

On a évidemment. * <■.•■<,- r- '

, , . dx , dx . . dy . dy .

( i } dx^ — du-^-j- dv, dr = -j- du -f- ~- dv.

du dv du dv

Ces équations fourniront les différentielles du premier ordre dx et dy\ car x et y étant donnés en fonction de u et de r, on peut regarder -^ -^» -r » -;-> comme

r D du dv du dv

connues, soit par la différentiation directe, soit par la méthode de différentiation des fonctions implicites, dans le cas où u et c sont définies par deux équations non résolues par rapport à x et à y.

En différenciant les équations (i ), on trouve

. d7x . , d2x . . d7x , dx . dx .,

dxx = -j-- du-h i -= — r dudv -f- -=— dv7 -f- -r- d7 u -f- -r- d* v, du7 dudv dv2 du dv

ii ^2>\y * <I*V i 7 , d-y . dy dy .,

d7r = — ^ du2-+- 2 -y^-r dudv -+- —~ dv -h — d2u -f- -f- d7v, air dudv dv au dv

et ainsi de suite. Les valeurs de -1-7» -7— r? -j-t* -=-<-• -—< -r-s-- se calculent

du- dudv dv du- dv2 dudv directement si x et y sont donnés explicitement en fonction de // et de r, et, dans le cas contraire, à l'aide de méthodes connues pour la différentiation des fonctions implicites.

C'est surtout dans l'étude des applications géométriques du calcul différentiel que l'on a occasion d'appliquer cette théorie. Pour donner, dès à présent, un exemple, soit

dxd-y — dyii-x

l'expression d'une certaine ligne; cherchons ce que devient l'expression de R lorsqu'on substitue à x et à v deux variables nouvelles, p et u, définies par les équations

x = p COSw.

r = ù sinw.

on aura, en prenant w pour variable indépendante,

dx = dp cos » — p sin w rfw, dy = dp sin w -h p cos w */w, rf2.r = d2p COSw — 2</p sin &></&> — p COSwrfw2, rfa^ = rf2p sin w -4- idp coswrfw — p sin »rf&>2,

et, en substituant,

(dp2-\-p2d<*2f

p2do>*-+- T.dp^dtti — p*/Jpc/to

174. Lorsque, après avoir regardé, dans une formule, la variable indépendante comme indéterminée, on veut la fixer ultérieurement, si cette variable est une des lettres quifigurentdansles calculs, on remplace par leur valeur, zéro, toutes ses différentielles d'ordre supérieur au premier; mais. si cette nouvelle variable ne figure pas explicitement dans les calculs, il faut procéder autrement.

On calculera la différentielle seconde de cette variable indépendante, et en l'égalant a zéro, on aura, entre les diverses différentielles des lettres qui figurent dans l'expression considérée, une relation à l'aide de laquelle on pourra lui faire subir une infinité de transformations. Reprenons, par exemple, l'expression

R== (dx>+dr-Y

dy d2x — dx d 2y

et prenons pour variable indépendante une fonction s de x et de y définie par l'équation

(2) ds2=dx2-\-dy-;

s est, comme on sait (118), l'arc de courbe dont les points ont pour coordonnées aet y. On aura, en écrivant que d2s est nul,

(3) o = dxd2x-h dyd'y,

et au moyen de cette équation on peut transformer de bien des manières l'équation (1), qui devient

\^dy d^x dx d^y __<?*( ds ds2 \ dy <P x \ds) ds7' ~*~ \(ïs ) ds2 H — ds ds2 ds Us2" """ ds l dy J "*" ds 'ds2' "" " dy*

\ ds~ / ds

On peut adopter cette expression; mais ou en obtient une plus élégante en élevant

jr- au carré; on a

— == (—Y (d*rY (dA7 (d2xy dxdrd2x d2r IV \ds ) \ds2)~*~\ds) \ds2j 2ds~37~ds2~ ds2'