LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

mais en vertu de la relation (3)

dxdyd'x d'y (dx\* (d*x\* __ (dy\2 (d7r\2__ (dxd2x\* (dyd*ry *ds 7sWW~*\ds) \ds> ) ~~*\ds) \ds* ) ~ \ds ds> ) "*" \ds ds* ) 5

donc

i (dxy (d*ry (dry (d^y (dxy î^£\2 (dy\7 (d*yy K>-\dr) \ds2)^\ds) \ds2J^\ds) \d*)+\dê) \ds>)

OU

On doit remarquer que l'expression de R en fonction des dérivées de x et de y par rapport à s, est indéterminée; car il existe des relations entre ces dérivées, et deux expressions qui les contiennent peuvent être équivalentes sans être identiques.

" 175. Lorsqu'on a obtenu une formule dans laquelle une certaine variable, définie comme on Ta supposé dans le paragraphe précédent, est considérée comme indépendante, on peut se proposer de remonter, au moyen de cette formule, au cas général dans lequel la variable indépendante est entièrement arbitraire. Cette question diffère de celle qui a été résolue (169). Ici, en effet, les dérivées sont prises par rapport à une variable s qui doit disparaître ainsi que ses différentielles du résultat final que l'on veut obtenir. Si l'on donne, par exemple, l'équation

/ i ' ' ' i^xy (d'ry

sachant que s désigne une variable telle que

ds7 = dx*+ d)\

l'application des formules (169) donnerait

, . i (d2xds — dxd's)2+(d*rds—drd'sy

mais le résultat que nous voulons obtenir est l'expression de jr en fonction do x et

de y seulement et sans que s y figure.

Nous nous bornerons a indiquer, sur l'exemple choisi, la marche que Ton doit suivre.