LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

dz = dïdx + Trdr>

j dz . dz .

dz = -T- du H- -3- dv.

du dv

Ces deux expressions de dz doivent devenir identiques si l'on y remplace du et dv par leurs valeurs

, du , du ,

j dv , dv .

dv = -r- dx -h -r dr.

dx dy J

1 1 est clair, en effet, qu'après cette substitution, les deux expressions de dz seront «Je la forme Pdx h- Qdy, et comme toutes deux représentent, aux infiniment petits du second ordre près, l'accroissement de la fonction z, leur différence doit être m nfiniment petite du second ordre. Or dx et dy étant deux infiniment petits du jpremier ordre indépendants l'un de l'autre, il faut pour cela que cette différence soit rigoureusement nulle.

On déduit de cette identité

dz dz du dz dv

dx du dx dv dx

dz dz du dz dv

dy du dy dv dy

des équations résolvent la question pour le cas des dérivées du premier ordre. Les

«"iérivées -r- > -r > -r-> tt ' Qui v entrent, doivent être considérées comme connues et

dx dy dx dy ^ J

se calculeront à l'aide des équations données qui lient u et v à x et à y.

Remarquons que chacune des équations ( 1 ) aurait pu s'écrire comme consé- ^juence immédiate de la règle de différentiation (58) des fonctions composées.

177. La comparaison des deux expressions différentes de d2z donnera l'expression des dérivées du second ordre -3— r> j , > -j—, en fonction des dérivées prises

dx9 dxdy dy* r

£>ar rapport aux variables u et v.

On a, en considérant dx et dy comme constants,

1, d1* » , drz , , d7z . ,

y ■ ! d'z = j-r dx7 «+- 2 , , dxdy-+- -=— dy* ;

dx2 dxdy J dy1 J

011a aussi, dans la même hypothèse,

j, d*z j , d*z , j d3z , , dz ' dz .

V rz\ rfî2== ^ï-f-2- — dudv -\- -rrdv'-h — </*«-{- -7- d*v;

du2 dudv dv7 du dv

d'ailleurs

. du . du , , dv . dv ,

du^-^dx+^dy, d, = ^dx + Trdr,

du = ^dx'+2^dxdr+drdr'> d'v=dïdx+*^dxdr+dïd>'

Par la substitution de ces valeurs, l'équation (a) prendra la forme

d2z = A dx2 -+- 2 Bdxdy -t- Crfj2,

et en comparant avec l'équation ( i ), on conclura