L a AlL — n d'z —r

dx2 ~ *' dxdy ~ *' dy* — '

A, B, C étant des fonctions connues de -t-t* -j—r* tt' j-» -jt» et des dérivées d ^» k 7 du2 dudv dv2 du dv

et de v prises par rapport à x et à y.

La même méthode s'étend évidemment aux dérivées du troisième ordre et «i «$

ordres supérieurs.

178. La méthode précédente fait connaître, par un seul et même calcul, V^ "*pression de toutes les dérivées de même ordre. Il peut arriver que, ne voul» mi{ obtenir l'expression que d'une seule dérivée, on trouve plus commode de la dét^ *"" miner directement et isolément.

Supposons, par exemple, que, les données étant celles du paragraphe précède i~» *->

on veuille calculer , , »

dxdy

On a d'abord, d'après la théorie des fonctions composées,

dz dz du dz dv

dx du dx dv dx

Pour obtenir -j—f> il faut prendre la dérivée de chacun des deux membres p ^^r' rapport à y ; on a ainsi

d2z __ d (dz\ du dz d2u d (dz\ dv dz d2v

tixdy

z __ j/ (dz\ d" dz d2u d (dz\ dv dz d2v

ty "~~ dy \du) dx du dxdy dy \dv) dx dv dxdy%

d'ailleurs ^- ( -£- \ et ~ (-^ ) peuvent se calculer à l'aide de la formule générale

dy dy du dy dv

dy du dy dv effet l'on obtient ainsi

d2z __ ç^z du du d2z (du dv du dv\ d2z dv dv dïz d2 u dz d2v dxdy ~~ du2 dxdy* dudv \dx dy* ^"dydx) "*" Hv2 dxdy dû dxdy dv dxdy

S fi-

xait