LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Les mêmes principes s'appliqueraient à la transformation des dérivées d'une fonction contenant un plus grand nombre de variables indépendantes ; il n'est pas nécessaire d'en reprendre l'exposition. Les applications qui vont suivre ne laisseront sur ce point aucune difficulté.

Cas où l'on cliange la fonction.

179. Lorsqu'une équation lie plusieurs variables, chacune d'elles peut être considérée comme fonction de toutes les autres, et il arrive souvent que, dans le cours d'un même calcul, on juge utile de changer, non-seulement les variables indépendantes, mais encore les fonctions qui en dépendent et auxquelles on substitue des fonctions nouvelles liées aux premières par des relations données.

Soit z une fonction de x et de y. Supposons d'abord que l'on veuille y substituer mine nouvelle fonction w, de deux variables nouvelles u et v, u, v9 w étant liés, £>ien entendu, à x, y, z, par trois équations données.

On a

. dw j dw ,

dw = -j— du -+- -j- dv , du dv

du , du . du . du ( dz , dz . \

dzdz = dïdx + Trdr + dz\7ncdx + TrdrY

dv . dv , dv . dv dv dv (dz . dz , \

dv=Txdx + Trdr+dzdz = Txdx + Trdr+Tz\Txdx + Trdn

, du . du ,

du = Txdx + drdr-

Par* conséquent

__ \dw ( du du dz \ dw I dv dv dz\ ~| . \du \dx dz dx) dv \dx dzdxj]

dw j du du dz \ dw (dv dv dz\l , dû \dy dz dy) dv \dy dz dy) \ * '

TO^is on a, d'un autre côté,

, dw . dw . dw . / dw dw dz\ . / dw dw dz \ .

dw = -ï-dx-+--T-dr-\--j-dz = [- 1- -7— -r— ) ^/^r -h ( -j — h- -7— -7- ) dy.

dx dy ' dz \dx dz dx J \dy dz dy J fc

*ttlk égalant les coefficients de dx et de rfvdans ces deux valeurs de dw, on déduit

dw dw dz dw /du

dx dz dx du \ dx

dw dw dz dw / du

dy dz dy du \dy

Ces «i

du dz dz dx

du dz \ TzTy)

dz A dz

dw / dv dv dz \

dv \dx dz dx)

dw (dv dv dz \

dv \ dy dz dy I

dw , dw

quations permettent d'exprimer -j- et t-, en fonction de -^- et -7— Les autres

f/JU' =

, , . , . rt , , . . dw dw du du ■% . L

dérivées qui figurent dans leur expression, savoir: -j-, -j-, j-> jz^""> doivent

être regardées comme données, puisque u, v, w sont des fonctions connues de a; vêts.

On calculera de même d2w à l'aide des deux formules

d>«'= -7— -<//<2+ 2-p— -r/wf/i'-h-r- rfi'2 H— j-d2u-\ — j-r/2i', tff/2 <//«<A' /A2 «m <A»

Si Ton remplace rfw, tfr, </2 w, d2v et rf2s par leur expression en fonction de dx et de dy, les deux formules prendront, Tune et l'autre, la forme

d*a>= P dx7 -f- zQdxdy -f- Rrfr2, et en écrivant qu'elles sont identiques, on obtiendra trois équations qui permettront de calculer ^-A t~t: et tt en fonction des dérivées de w par rapport a u et r. Nous ne développerons pas les calculs, qui sont compliqués et sans intérêt.

Quelques exemples.