Transformer l'expression

d7v </2v d*<> dx1 + «/>•* ■•" dz* '

en substituant aux trois coordonnées rectangulaires .r, y, z trois coordonnées rectangulaires nouvelles x', v\ z\ liées aux premières par les relations

x' = ax -h by -h v.z, y = a'x -h b'y -+- c z, z' = a" x -+- b"y -+- c" s,

dans lesquelles les neuf coefficients a, b, c, a', b\ c', a", 6", c" sont liés par les relations connues auxquelles satisfont les cosinus des angles formés deux à deux par les axes de deux systèmes rectangulaires. Remarquons que les relations qui lient les variables anciennes aux variables nouvelles étant ici du premier degré, dx', dy', dzy seront constantes en même temps que dx, dy, dz; on aura donc

. du* . , d7v . t d*v . d*v , . d*v . . du> . ,

ilv = dx-*iLx+Tj*(l>+dïdzl + * et

et par suite

. d^v [xdx-\-ydy)% d2v ( x2 — y*)dxdy-h xy( dy°— dx3 )

d v " dv2 r2' ' + 2 rfr </0 ! ""T7"" !

d2v{xdy — ydx)1 dv (xdy — ydx)2 dv n2 — x7)dxdy — xy(dy2 — dx*)

et en égalant les coefficients de doc2 et de dy2 dans ces expressions de d*v, il vient

d2 v d7 v x* nxy d2v d2 v r= dv y1 i xy dv

dx>~~dF? ï*~ rfrrfô + rfOrr;"4"rfrr7"l""7T" rf6'

rf'i» d2vy* o.xy d7v d2 v x2 dv x2 ixy dv

dy ~~ dr2 72 ~^ ~ drdB + Tô7 r7"*" S? r7" Je'

et par suite

d2 v d2 v d2 v d2 v i 1 dv

dx*~*~ ~f=dr* ~*~ rfë7 7> "*" r <//•'