Transformer l'expression

eu substituant, aux trois coordonnées x, y, z, des coordonnées polaires p, 9, ^, liées aux premières par les équations

z = p cos 0, x = p sin 0 cos >J/, r = p sin 0 sin ty.

Si nous adoptons d'abord comme variable auxiliaire le produit p sin 6, que nous représenterons par r, r et ^ pourront remplacer x et y, et comme on aura

.r=/cos^f v=rsin^,

un calcul semblable au précédent donnera

d2v d2v __d7v J d2v i dv dx2 dy* dr2 r2 dty7 r dv

l'expression proposée devient donc

d2 v i d2 v i dv d2 v rfrî"hr'rf^7 + 7r7/"f" dz2'

Remarquons ensuite que, pour une valeur donnée de <{/, r et z sont deux coordonnées rectangulaires par rapport auxquelles p et 0 peuvent être considérés comme un système de coordonnées polaires; on aura donc

d2 v d2 v d2 v i d2 v i dv

7z1*lïr1~ls*lïd¥*'~£Tp'

fondions //, A, ef A2, définies par les équations

Ces fonctions ne changent pas, comme on s'en assure facilement, si Ton remplace les coordonnées x9 y9 z par d'autres coordonnées rectilignes orthogonales. Cela

résulte d'ailleurs immédiatement de ce que, d'après ce qui a été dit (125), ^-» y^» -j1 représentent les arêtes du parallélipipède compris entre les six surfaces

qui correspondent aux valeurs p, p -+- <fp, p*> p* + dpK9 p29 p2 -+- dp2 de nos paramètres. Or les dimensions de ce parallélipipède ne peuvent pas changer avec la direction des axes.

Cela posé, cherchons d'abord à exprimer les dérivées de x9 y, z, par rapport à p, pi9 p29 en fonction de celles de p9 pi9 p2 par rapport à x9 y et z. On a

dt = id*+dj<y+7fïdz>

r dx dy - dz

Pour déduire de ces équations les dérivées dex, y9 z par rapport a p9 pif p2% résolvons-les par rapport aux différentielles dx9 dy9 dz. Si l'on a égard à ce que

\ >ïïx* Ti <7r'Ârfi' Tîdx*""* sont 'es cos*nus des angles formés (96) avec les axes des coordonnées, par les normales à nos trois surfaces qui, par hypothèse, forment un système rectangulaire, on verra que pour résoudre les équations (2) il suffit de

les ajouter, après les avoir multipliées successivement par jiT"* tt^'.tî j^-

1 do 1 dùy 1 do, * 1 dp 1 dpt 1 do2 ~ A . .

PU1* Par P W TF,dr'T]àr el enfin par p as» ï? *' ïî #' 0n trouve ainsl

■ 1 dp . 1 dpi . 1 dp3 .

. 1 dp . 1 rfp, , 1 rfp2 .

. l dp . 1 </p, , 1 rfp,

A' rf* ' AJ c/s p A; rfz r