LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

et, par conséquent, on a (57)

dx 1 dp dp h2 dx

dx i dp, rfp, A? dx

dx i dp, dp2 h] dx

dy i dp

Tp — fr d~y'

dy i dp,

dpi __ i dp, dy ~ h\ dy

dz i dp dp — frdl'

dz i dp,

dp, h\ dz '

dz i dp2

dp, h) dz

Ces formules peuvent d'ailleurs se démontrer directement. Remarquons, en effet,

que le produit -r- dp représente l'accroissement infiniment petit de x, lorsque, ps

et p2 restant constants, p reçoit l'accroissement dp. Ce produit est donc la projection sur Taxe desX, de la normale infiniment petite comprise entre les surfaces qui

correspondent aux paramètres p et p -h dp, et dont la longueur est (125) (-j-> Or le cosinus de l'angle formé par cette normale avec l'axe des X est ("96) -. y£-

On a donc

dx , i , dp d}d^=h2^Tx'

et par suite, en supprimant le facteur dp,

dx i dp

dp A* dx

184. Nous allons maintenant calculer en fonction des coordonnées p, p{% p2 la somme

d*v d2v d2v dx7 dy* dz' '

à laquelle M. Lamé donne le nom de paramètre du second ordre de la fonction v.

Et d'abord ce paramètre s'exprime facilement par ceux des variables p, pi9 p., elles-mêmes.

On a, en effet,

dv dv dp dv dp, dv dp,

dx dp dx dp,dx dp7dx

d^dU^/fhy ^.(^tY i—\ l'LhX //'*' dpxdp,

dx2 ~7 dp2 \dx) dp] \dx j \dp\j \dx ) dp,dp2 dx dx

d2v dp, dp d2v dp dp, dv d2 p dv d2 p, dv d2 f?

dptdp dx dx dp dp, dx dx dp dx2 dp, dx1 dp, dx7

d2 v d7 i* fctsi l'on calcule, de la même manière, -jt et tî' on trouvera, en ajoutant et

ayant égard à ce que les surfaces sont orthogonales,

d>v d>v én^^Hi^h* — ^ is — -*- dv (^ + d't + d7p\

!*>'* dj« ^ dz>~n rfp'^"' dp\ ^"'rfP; + rfp\rf*' + rf^'H~ rfFj

d^ /rf^p, rf> rf»pA rf^ /rf> rf'p, rf=p,\ + rfp, W*3 rfj* ~*~ dz* J* dp\dx> + rf^" ~*~ 17?" /'

et par suite le paramètre du second ordre de v sera exprimé en fonction de p, p ,, ,o2 et des paramètres de ces trois fonctions, que nous allons actuellement chercher.

185. Les surfaces représentées par les équations p = const., p, = consL, p2 = const., se coupent mutuellement à angle droit, quelles que soient les valeurs des constantes : or les cosinus des angles formés par leurs trois normales en un point avec les axes des X, Y et Z, sont

i dp  dx'

i dp

i dp Ti dz*

j rfp, A, dx

i dp, h, dy'

i dp, A, dz '

i dp, h7 dx '

A, dy'

i dp7 Tît dz

Ces neui quantités ont donc entre elles les relations bien connues qui existent entre les cosinus des angles que font, deux à deux, les axes de deux systèmes rectangulaires, et l'on a, par suite,

(Jl = A (dfid?* rfp! rfpA dx ~~ A, A, \ dz dy% dy dz j

dp __ A /rfp, rfp, __ dp, dp,\ dy ~~~ A, A 2 \ dx dz dz dx j '

dp __ A (dj^dp* ^!^\ rfz "~~" A, A, \dy dx dx dy )'

dp, __ Jh (dp* rfp rfp, rfp \

rf^c A A, \dz dy dy dz J

dp, A, (dp* dp dp7 dp \

dy A A, \ rfx rfs rf* dx /

rfp, ___ A^ /rfp, rfp^ rfp, rfp\

dz ~~~ A A, \ rfp rfa: rfr 3>v

rfpa __ Aa /rfp rfp, rffi rfpi\

rf.r A A, \rfz rfp rfp dz j

rfp» A, /rfp rfp, rfp rfp, \

dy A A, \dx dz dz dx /

rfp, Aï (dp dp, rfp rfp, \

rfs ~~ A A, \dy dx dx dy)