LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Si de ces formules on déduit , p et -7—7-» en différentiant -£ par rapport à y, puis ^ par rapport à x, on a, en égalant les résultats,

d — A / d7p{ rfp, tf*p, rfp, , rfpj ^*P» rfp, </'p, \ At /ia /</p, dp, dpx </pA

A, A, \rfz rfr rfr rfj* dz dz dy2 dy dydz ] dy \ dz dy dy dz )

hihiXdx2 dz dzdx dx dx dxdz dz dx2 j dx \dx dz dz dx )

ou bien, en ajoutant et retranchant, pour plus de symétrie, quelques termes qui se détruisent,

A NW^Ip? , rflp; . rf>\ ^ /</ap, , rf'p, , rf8p.\l A, A, [</s \dx2 "*" rfra #/«» J rf2 \rfr» "*~ rfr* ■•" dz' jj

Krfrfp, rfrfp, rfrfp,\ / ddîl * rf</p, </^Al dp7 dz rfpj (/z r/pi dz J I rfp, rfs dpx dz rfp, cfe 1 I dx dx dy dy9 dz dz / \dx dx dy dy dz dz / J

rfpi I dfi A, A, </p* A, A3 </p3. A, Aa

rfz \rfj7 */.r r/r r/r dz dz

iil\ ih ^'^ , iii ^tAa rfp. A, Aa J I rfs \rf.r dx dy dy dz dz / J

mais en ayant égard aux formules (183), et remarquant que Ton a

dit dit dit dit

dz dx dz dy dz dz dz

dx do, dy dp3 dz dp7 d p7

cette équation devient

[dit dit']

ihlilh^ilai ilt\ — it(ilt^ilt^ilt\ i <!* h* dz\ dz [dx2 + dy* + dz' ) dz \ dx- "*" dy3 "*" dz2 ) "*" ~ 1ÎJT "" " ' </p, J

rf— </ *

+ rfp, A, A, A, dp, A7 A, A, = Q

<fe ' dp, rfz ' rfp,

On obtiendrait de même les deux suivantes :

[dit a iîï\ dy \ dx' "•" df ^ dz> ) dy \dx' "^ dy* "•" </*' / + "' "rf^T ' "rfpTj

rf— </ — </p, . A, A, dp, j,., A, A,

4r "'~dpT~dJ n'~dpT- °' M,

[rfrfp, rfpri

rf* \rf*' + dy* ^ dz> ) dx \dx> "*" «//» + dz')^~' rfp, "' ~4T J

l ^£i A' ,l,,t' - ^ h' —— = a. dx ' rfo, dx ' </p,

En ajoutant ces trois équations après les avoir respectivement multipliées par

-£■■> -£> -p-t on trouve, toutes réductions faites, dx dy dz

, AA, rflog-

. (d'p, </> rf>\ 8 A,

a; \ </*«" "•" rfj- ~*~ dz> ) ~*~ dpT~ ~ °

En ajoutant les mêmes équations après les avoir multipliées par -p, -41-, -p* on trouve de même

. /rf'p, d*„ rf'P,\ <flogT' Ay \ rfx> "*" rfr» "*" </*» ) "•" </P,

on trouverait de même

,. A, A, , /rf'p , rf'p , rf»f\ | a'°8 A

rfp

En ayant égard à ces équations, l'expression de y—^-j-r, ■+• -r-t trouvée (184) de-

vient

(du> ^A,a/a,A, ) , kt( d'y , d* h,hd h,h ) \dP>+d? A dp / + n>\dpl-*~dp, A, rfp, /

ïh,dhJ, y

A, Jp, /'

(/'f (/'!• rf'y

i A'( rf,".i * AA

ou, ce qui revient au même,

/ d ^ — / — — i — dv \

d*v d*v d*v ,.,. a ( hth,dp , d hjidj, , dTiJ,djA

dï + rfF + ï& = hh' hl \~dp— + ^IpT- + — dp-Tj •