Si z est une fonction de x et de /• et que l'on pose

dz dz d'z d*z d7z

Tx=P> Ty = ^ Tx* = r> dx-Jy=S> dP='' « = ** + */—*•

on aura, en prenant p et q pour variables indépendantes,

du __ du __ d*u __ t d*u __ — 5 d'u __ r

dp~~~X' dq~ •*' rf/>a "" rf — 5* ' rfprfç ~~ r/ — s* * rfg* "" r* — j»"

4. Si ?(#, /,z) = p, f,(x, j, s) = pi, ya(.r, /, 2) =pa, sont les équations de trois séries de surfaces orthogonales, p p,, p3 formant par suite un système de coordonnées curvilignes, le déterminant du système des fonctions p, p,, p3, par rapport aux variables r,j, z dont elles dépendent, est égal au produit AA,A„ dans lequel ces lettres ont la signification indiquée (183).

5. Si pa, pj, pj sont les trois racines, toujours réelles, de l'équation

en posant du = «i */«, = pi » Aij =

V(p'-*,)(p,-c») V— (PÏ— ^Xpî— «■) V(PÏ — fta)(pï — c»)

l'équation

rf'f rf'v rf'f

équivaut