FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Définition des équations différentielles.
186. Lorsqu'une équation exprime une relation entre une fonction et ses dérivées, on la nomme équation différentielle. Nous avons eu déjà l'occasion (146; d'utiliser des équations différentielles pour la recherche des dérivées de certaines fonctions. L'étude des équations de ce genre est d'ailleurs un des sujets les plus importants que nous ayons à traiter.
Une fonction d*une variable étant donnée, l'équation différentielle à laquelle elle satisfait n'est pas déterminée. Si, en effet, on différentie l'équation y = <p (x) pour
en déduire -p = <p' (x), toute combinaison de ces deux équations fournira une relation entre x, y et -4- y c'est-à-dire une équation différentielle a laquelle satisfait y. Soit, par exemple, la fonction
on en déduit
dy dx
et ces deux équations donnent les relations
dx~ Jf dx
auxquelles on pourrait évidemment en adjoindre une infinité d'autres. Si dans ces équations on considère y comme inconnue, elles admettent la solution commune y = e2x, mais chacune d'elles peut en avoir, et en a effectivement, une infinité d'autres.
187. On peut se proposer de combiner l'équation qui définit une fonction avec celle qui fait connaître la dérivée de cette même fonction, de manière à remplir une certaine condition que l'on aura en vue. On peut, par exemple, profiter de l'indétermination que comporte une semblable opération pour faire disparaître un radical, ou une exponentielle, ou un sinus, etc., qui figurent dans l'expression de la fonction et que l'on ne veut pas conserver dans l'équation différentielle.
Soit, par exemple, l'équation
on en déduit
2^=mf'(*)[f (*)]-' ,
dr
dx
dr
dx
= sin<p(ar),
rf.r
COSf(jr)V(#),
et par conséquent, en éliminant <p (a?)m,
Si Ton a, par exemple, on en déduira
où il n'y a plus de radical.
Soit encore
on en déduit
et si Ton veut éliminer les lignes trigonométriques sin <p (x) et cos <p (x), on trouve
On pourrait donner un grand nombre d'exemples analogues, mais nous nous bornerons à répéter que l'équation différentielle à laquelle satisfait une fonction donnée est essentiellement indéterminée. C'est pour cette raison que l'on peut, comme on vient de le voir, lui imposer des conditions relatives a la forme qu'elle doit avoir.
Élimination des constantes.
188. Lorsqu'une fonction donnée contient dans son expression une constante arbitraire, on peut se proposer de former une équation différentielle a laquelle elle satisfasse, et dont cette constante ait disparu. Le problème est toujours possible et déterminé. Soit, en effet, une équation
(î) F(*,jrf a) = o.
