LIVRE PREMIER. - ETUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

dans laquelle a désigne une constante arbitraire. On obtient, en la différentiant,

d¥ dfdr

et en éliminant a entre les équations (i) et (2), on formera l'équatipn différentielle demandée. Cette équation pourrait être obtenue par un autre calcul. On pourrait, par exemple, résoudre l'équation (1) par rapport à a, et la diffé rentier après lui avoir donné la forme

la constante se trouverait immédiatement éliminée et Ton obtiendrait l'équation

rf? do dr dx dy dx

On peut, plus généralement, transformer d'une manière quelconque l'équation proposée avant de la différentier ; l'élimination de la constante a pourra donner lieu à des calculs très-différents, mais le résultat final est le même dans tous les cas. Quand on a, en effet,

a étant arbitraire, il est permis de choisir à volonté une valeur de x et la valeur correspondante dey; mais, le choix une fois fait, l'équation (1) détermine a et il n'y

a plus rien d'arbitraire dans l'expression de y en x; -7- est donc complètement

déterminé. J- étant déterminé lorsque l'on se donne x et j, la relation qui lie x, y

et -^ est évidemment déterminée et doit rester la même, quel que soit le moyen employé pour l'obtenir.

189. Lorsqu'une équation entre deux variables x et y contient plusieurs constantes arbitraires, on peut les éliminer et former une équation différentielle dans laquelle elles ne figurent plus, mais il faut, pour cela, introduire des dérivées successives de y en nombre précisément égal à celui des constantes.

Soit l'équation

où C,, C2, . . ., C„ désignent des constantes arbitraires. En la différentiaut n fois de suite, on formera n équations nouvelles qui, réunies à la proposée, permettront d'éliminer les n constantes. Mais on peut procéder de bien des manières différentes pour atteindre le même but. On peut, en effet, transformer l'équation (1) avant de la différentier; on peut aussi transformer d'une manière quelconque celles qui ré-

sultent de la différentiation de (i) en substituant à Tune d'elles, avant de faire une différentiation nouvelle, le résultat de sa combinaison avec toutes les précédentes. On peut, par exemple, éliminer la constante C, entre l'équation (i) et sa dérivée, puis éliminer C2 entre l'équation différentielle ainsi obtenue et sa dérivée, et continuer ainsi jusqu'à l'élimination de toutes les constantes. Or il est bien digne de remarque que toutes ces méthodes donnant lieu à des calculs très-différents, conduisent cependant au même résultat final. L'équation (i) contenant en effet n constantes arbitraires distinctes, on peut se donner, arbitrairement, pour une valeur donnée de x, les valeurs correspondantes de y et de ses n — 1 premières dé-

rivées -f- , -r4v> -= — v Mais ces n conditions déterminent les n constantes, et y dx dx1 dxn~x

devient une fonction déterminée de x ; -^ est par conséquent déterminée. Cette

ntème dérivée étant déterminée lorsqu'on se donne x, y, -jj- , • - • > j-^±t' l'équation

qui la lie à ces diverses quantités est déterminée et doit rester la même, quel que soit le moyen employé pour y parvenir.

190. Pour donner un exemple d'élimination des constantes, formons l'équation différentielle du troisième ordre à laquelle satisfait la fonction y définie par l'équation

(x — ay+[y— £)'=R',

représentant tous les cercles tracés dans un plan. En différentiant trois fois, on a

l x d*T o dr d2r on déduit de ces deux dernières équations, par l'élimination de (y — b)9

* " dx \ c'est l'équation différentielle demandée

Elimination des constantes dans une équation qui contient plusieurs

variables indépendantes.

191. La différentiation permet d'éliminer les constantes d'une équation dans laquelle figure une fonction de plusieurs variables, absolument comme dans le cas où il n'y a qu'une seule variable indépendante.