LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. WJ

Soit l'équation

f[xf y, a, b, z) = o,

qui définit z en fonction de x et de y, et de deux constantes arbitraires. En différentiant par rapport à x, puis par rapport à y, on obtient deux équations qui, réunies à la proposée, permettent d'éliminer a et b.

En introduisant les dérivées du second ordre, -r-p ;7~7r > tt» on pourra éliminer

cinq constantes; on en éliminerait neuf en introduisant les dérivées du troisième ordre, et ainsi de suite.

192. Il existe une différence importante entre les équations obtenues comme il vient d'être dit et celles qui résultent de l'élimination des constantes dans les équations à une seule variable indépendante. Dans ce dernier cas , en effet , l'équation obtenue a le même degré de généralité que la proposée et peut la remplacer entièrement. De même qu'elle est déduite de la première, on pourrait, en la prenant pour point de départ, retrouver celle-ci. C'est là un théorème de calcul intégral dont nous ne pouvons donner ici la démonstration, mais qui sera établi plus tard; or on peut voir, dès à présent, qu'il en est tout autrement dans le cas de deux ou plusieurs variables indépendantes : l'équation trouvée entre les dérivées partielles de la fonction est beaucoup plus générale que celle qui lui a donné naissance.

Considérons, en effet, une équation de la forme

En prenant les dérivées successives par rapport à x et à y, on pourra former deux équations du premier ordre, trois du second, quatre du troisième, et ainsi de suite. Si donc on veut introduire les dérivées du second ordre, on aura

dz dz d7z d2z d2 z . ,,,,. . ,

six équations entre x, y, z9 -j-, -y- , -r-^ > -7-7 > , , ? qui, par 1 élimination des constantes a et b, donneront quatre équations entre ces diverses quantités. L'équation différentielle entre x, y, z, -j- »-r ne donnera au contraire que deux équations

du second ordre que l'on obtiendra en la différentiant par rapport à x et par rapport à y. Ces deux équations, réunies à la proposée, en font trois seulement au lieu de quatre, et par suite, en considérant les dérivées de z jusqu'au second ordre inclusivement, on voit que l'équation (1) leur impose un plus grand nombre de conditions que l'équation différentielle qui s'en déduit. La différence augmente encore si l'on considère les dérivées du troisième ordre. L'équation proposée, différentiée par rapport à a? et par rapport à y jusqu'au troisième ordre inclusivement, donnera

m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

,. , . â dz d'z d7z d'z d\z d*z d*z d*z t

en tout dix relations entre x, y, z, ^, ^-, -^ ^, ^ ^,, 3^3- ^< et

les deux constantes; il y aura donc huit relations indépendantes des constantes entre x, y, z et les dérivées de z jusqu'à celles du troisième ordre inclusivement. Or, en prenant pour point de départ l'équation différentielle débarrassée des constantes, on en déduit deux équations du second ordre et trois du troisième, ce qui fait six relations, en tout, entre ces mêmes dérivées auxquelles l'équation primitive en impose huit. Ce seul rapprochement fait comprendre que l'équation différentielle laisse a la fonction z une plus grande latitude que l'équation primitive.

193. On peut démontrer d'une autre manière que l'équation obtenue en éliminant deux constantes a et b entre l'équation

(i) li*,?, z> a, b) = o

et ses dérivées, admet une infinité de solutions non comprises dans l'équation qui lui a donné naissance. Soit, en effet,

cette équation différentielle, à laquelle satisfait, par hypothèse, la fonction z déduite de l'équation (i), quelles que soient les valeurs qu'on y attribue aux constantes a et b. Nous pouvons remarquer d'abord que les surfaces représentées par l'équation (i) ont une enveloppe que chacune d'elles touche en un point; l'équation de cette surface enveloppe, s'obtient en éliminant a et b entre l'équation i)

et les dérivées de cette équation par rapport aux constantes a et b. Soit

;3) 4p(jt, y, 5) = o

le résultat de cette élimination. Cette équation (3) fournit pour z une expression en x et y qui satisfait à l'équation (2), car en chaque point de la surface enveloppe

les quantités x, y, z, -7-, ~ ont les mêmes valeurs que pour celle des surfaces

enveloppées qui est touchée en ce point, et par conséquent la relation (a s qui a lieu pour tous les points de toutes les surfaces enveloppées, a lieu aussi pour la surface enveloppe.

Mais on peut obtenir une infinité d'autres équations qui, pour une raison toute semblable, partagent la propriété reconnue a l'équation (3). Établissons, en effet, entre les constantes a et b une relation arbitraire b=f(a), l'équation (1) deviendra ■4i ?[*, r, z, «, /(«)] = o,

et, ne contenant plus qu'un seul paramètre a, cette équation représente une série