Soit, par
exemple,
z = ax -+- by,
dx~ - "' Ty -
par conséquent
dz dz
*" dx * dy
Pour trouver d'autres solutions de l'équation (2), posons b = ç> (a) et éliminons a entre l'équation
(3) z=ax + y-i(a) et sa dérivée
(4) o = x-hy?'(a).
On conclut de l'équation \f\\ que a est une fonction de -» et, par suite, l'élimination de a met l'équation (3; sous la forme
F étant une fonction dont la forme dépend de celle de <p ; il est facile de vérifier, en effet, que, quelle que soit la fonction F, l'équation (5) satisfait à l'équation différentielle (2). On déduit, en effet, de l'équation (5)
dx
\x j x \x j dy \x J
et par conséquent
= XH^TV
Les surfaces représentées par l'équation (i) sont ici des plalis passant par l'origine. En établissant une relation entre les deux constantes, on obtient l'équation d'un plan mobile autour de l'origine suivant une loi arbitraire, et ce plan enveloppe un cône dont l'équation satisfait à l'équation différentielle de l'ensemble de ses plans tangents.
195. La solution précédente repose entièrement sur des considérations géométriques; mais on peut démontrer directement, sans faire intervenir la théorie des
surfaces, que l'équation obtenue en éliminant a entre
et
da ' '
donne, entre j- et -r-> x9 y, z, la même relation que l'équation
pour éliminer en effet a entre les équations (i) et (a), il faut déduire de la seconde la valeur de a en fonction de x9 y, z et la remettre dans la première. Cela
fait, si l'on veut calculer -r- et -p» dans l'équation résultant de cette élimination, il
faudra différentier l'équation (i) par rapport a x et par rapport à y, en ayant égard à ce que a, qui était constant, est devenu variable ; on aura ainsi
d¥ rfFrfz d¥da dx dz dx da dx '
rfF d¥dz d¥d a
dy dz dy da dy '
niais l'expression de a est telle que l'on a, identiquement, -y- =o, et les équations précédentes se réduisent par conséquent à
dY </F dz
dY dY dz
dx dz dx '
dj- dz dy
elles sont donc précisément les mêmes que lorsque a était constant. Or on pourra combiner ces deux équations de manière à éliminer entre elles et la proposée les deux quantités a et f (a) devenues variables. Les calculs seront absolument les mêmes que lorsque ces quantités étaient constantes et se nommaient a et b, et Ton aura le même résultat, comme on voulait le démontrer.
196. Les considérations précédentes peuvent être généralisées. Si l'on considère une fonction de n variables indépendantes, liée a ces n variables par une équation
