LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

contenant n constantes arbitraires, on pourra éliminer ces n constantes entre l'équation proposée et les dérivées du premier ordre prises par rapport aux n variables indépendantes; on formera ainsi une équation différentielle du premier ordre qui, quelles que soient les constantes, sera satisfaite par la fonction que définit l'équation proposée, et, en outre, par une infinité d'autres fonctions qui peuvent se déduire de celle-là.

Soit l'équation

(l) O = F(«, Xt, X3,. ., Xnt Ci, C3, . . ., C). -

Supposons que, parmi les n constantes C,, C2,..., C„, on en choisisse un nombre arbitraire p et qu'on les considère comme des fonctions arbitraires de toutes les autres, de telle sorte que l'équation (i) ne contienne plus que n — p constantes; si Ton différence cette équation par rapport à ces n —p constantes, successivement, on pourra éliminer ces constantes entre l'équation proposée et les équations ainsi formées; le résultat de cette élimination sera une équation entre m, xl9 x2,..., xn ; la fonction u définie par cette relation, dont la forme dépend des fonctions arbitraires que l'on a introduites, satisfera à la même équalion différentielle que la fonction primitivement donnée qui contenait les n constantes.

Regardons en effet, dans l'équation (i), C<, C2,..., C, comme des fonctions arbitraires des autres constantes, et différentions-la par rapport aux constantes Cp+{9 Cjh-2,..., C„; nous aurons ainsi n — p équations. De ces équations déduisons C^,, Gp+si • . . , C„, pour les substituer dans la proposée qui ne contiendra plus alors que u9

xl9 x29...9xn. Je dis que les dérivées -j-> ~T~">,"> 7T~ e* 'a ^onc^on u> auront, pour des valeurs données de xi9 x29...9 xn9 absolument les mêmes expressions en fonction de xl9 x29...9 x„9 C C2,..., C„ que lorsque les lettres C,, C2,..., C„ étaient constantes. En effet, après avoir remplacé, dans l'équation (i), Cp+t9 CA,f.2,...,C/îpar

leurs valeurs, si on la différentie pour obtenir -7— vil faudra avoir égard à ce que

les lettres C,, C2,..., C„ ne désignent plus des constantes, mais des fonctions de (Vm, Cp.h2,..., C,,, qui elles-mêmes contiennent xtf x29...9xn9. L'équation obtenue par la différentiation par rapport a xt sera alors

dV dV du rfF dCp+t d¥ dCH ___

dxx du dx, dCp+t dxt " ' ' dilH dx{ '

mais, par hypothèse, les expressions de Cp+Î9 C^2,..., C„ donnent identiquement

d¥ rfF dV

dCp^ ' c/C«+î " '' dCH

1î)S PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et l'équation se réduit à

dV (IF du __ dxx du dxx '

absolument la même que lorsque C,, C,,..., Cn représentaient des constantes.

D'après cela, les relations entre u, xk% x29..., x„, -t--> ;r~"' '"' 3~~' ^° ^'•••' ^"'

sont les mêmes que lorsque C,,C2,..., C„ étaient constants, et par suite, quoique C,, C2,..., Cp soient devenus des fonctions de Cp+,9 Cp+29...9 Cw, et que ces dernières quantités soient elles-mêmes des fonctions de xS9 x29...9 xn9 on pourra les éliminer absolument de même dans les deux cas, car le résultat d'une élimination ne dépend pas de la signification de la lettre éliminée. On aura donc toujours la même relation entre la fonction u9 les variables dont elle dépend, et ses dérivées par rapport a ces variables.

On donnera au résultat le plus grand degré de généralité possible, en supposant le nombre arbitraire/? égal à n — i .

Soit, par exemple, une fonction de trois variables

(l) M = C,X,-h Ca^a-h-CjJT, ;

on trouve, en éliminant les constantes entre cette équation et ses dérivées par rapport à xi9 x2 et xi9

. , du du du

' dxx dx7 dx>

Soient

si on élimine C, entre les équations

u = C,^,4-.r2?(C,)4- jrs4»(C),

o = xi + x19f (Ci) -h x*y (C,),

on obtiendra une équation entre xK9 x29 xt et a contenant deux fonctions arbitraires <p et <|*, et telle que la fonction u que Ton en déduit satisfasse à l'équation (a). Quelles que soient les fonctions y et t|>, on tirera de ( 3)

\xt xxj et, par suite, n'est une fonction homogène du premier degré de la forme

\Xl X\J

on vérifie aisément que cette fonction satisfait à l'équation ( 2 ;.