LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Élimination des fonctions arbitraires .

197. Les résultats précédents conduisent à penser que la difïérentiation permet non-seulement d'éliminer des constantes, mais encore de faire disparaître des fonctions arbitraires d'une équation qui en renferme. Nous allons prouver qu'en effet il en est ainsi, et présenter quelques remarques relatives à cette élimination.

Et d'abord il ne peut être question ici des fonctions d'une seule variable. La présence d'une fonction arbitraire dans l'équation qui définit une telle fonction la rendrait elle-même entièrement arbitraire, et il n'y aurait pas lieu par conséquent d'en faire l'objet d'une étude spéciale.

Considérons le casoii une fonction z dépend de deux variables indépendantes x et v. Les fonctions arbitraires renfermées dans l'équation qui lie x, y et z peuvent être de deux sortes. L'équation considérée peut renfermer, sous le signe d'une fonction arbitraire, une fonction donnée en x, y et z. C'est ce qui arrive, par exemple, dans l'équation

jr-+- r-f- z =j (.*•*-+- y*-\-z-),

où f désigne une fonction arbitraire de la somme x2-\- y2+ z2. Dans d'autres cas, l'équation contient une ou plusieurs fonctions arbitraires de quantités dont l'expression en x, y, z varie avec la forme même des fonctions, parce qu'elles sont définies par d'autres équations où figurent les mêmes fonctions avec leurs dérivées. Ce second cas se présente dans le système

z = {x-hct) [r-f- ? ( * )],

i, + ?(» + iy + * ) ?' ( * ; =■ o :

l'élimination de a donnera, entre x, y et z, une relation qui dépend évidemment de la forme choisie pour la fonction arbitraire <p (a), mais « ne peut être exprimé en fonction de x9y etz que si l'on se donne cette fonction 9. Si, par exemple, on suppose^ (a) = a, on trouve

et en prenant y (a) = 7- ou en déduit

la fonction f porte donc, dans les deux cas, sur des expressions Irès-diflerentes. H est clair que si l'équation qui lie z à x et à y contient // fondions arbitraires

?«(*«)» Ç2(ai)f-i ?/i(a«)» il faudra, pour qu'on puisse les éliminer, avoir, en même temps, n autres équations renfermant les mêmes fonctions qui pourront y être mêlées à leurs dérivées et aux variables a,, a2,..., a* elles-mêmes. Par exemple, les trois équations

établissent, entre #, y et s, une relation qui dépend de la forme cboisie pour chacune des deux fonctions désignées par f et t|>.

198. Considérons d'abord le cas le plus simple, celui où la fonction arbitraire porte sur une fonction donnée de x, y et z et où l'équation donnée est de la forme

v et u étant des fonctions données de x, y et z, et <p une fonction arbitraire.

En prenant la dérivée de l'équation (i) par rapport à x, puis par rapport à v, on a

dv dv dz , \'(^u dudz\

dx 7Tz dx~~ * \dx dz dx]

dv dv dz \(du du dz\

et en divisant ces deux équations membre à membre

c'est- a-dire

dv dv dz du du dz

dx dz dx dx dz Tîx

dv dv dz du du dz dy dz dy dy dz dy

dz / du dv dx xâ7}* dz

du dv \ dz t dv du dv du \ dz dy) dy\dx dz dzdx)~

du dv " dx dy

du dv dy dx

On voit que, quelles que soient les fonctions u et v, cette équation contient les dérivées partielles ^ et -r- au premier degré.

199. Considérons, en second lieu, le cas plus général où la fonction z est définie par un système de k -f- i équations entre x, y, zf et k fonctions arbitraires qui doivent être éliminées ainsi que les variables dont elles dépendent.

Soient <p,(a«), ç,(aa)f..., <pk(ak) ces k fonctions arbitraires qui peuvent figurer