LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

ainsi que leurs dérivées, dans les k -+- i équations données; on commencera par

calculer les dérivées partielles -3- > -r-„» -r-p 7-3-» -7-; > • • • » en fonction de a?, y, 2,

et des fonctions 9, (a,), 9, (a2),..., ?*(«*) et de leurs dérivées. Pour cela, on différentiera d'abord toutes les équations par rapport à x, puis par rapport à y, et l'on

formera ainsi a(ifc-+- 1) équations nouvelles, contenant, avec 7-et^» les dérivées

par rapport k a? et par rapport à/ dea,, a2 a*. On pourra donc éliminer ces

dérivées» et calculer -7- et -r-- Les dérivées du second ordre des £4- 1 équations

proposées sont au nombre de 3(4-+- 1); elles contiennent, outre %— -» -7-3» 7~jv les dérivées du premier et du second ordre de a,, a,,..., aA. Si Ton y remplace les dérivées du premier ordre, -r-> -tv t"1' 77~rv"' Par ^eurs valeurs déduites des équations précédentes, et que Ton élimine ensuite les 3£ dérivées du second ordre -y~, 7-7-' 7^'*"' ^ restera trois équations, desquelles on pourra déduire

t-£, ^—^- et -r-!' En continuant à opérer de même, on pourra déterminer les dérivées de z de tel ordre que l'on voudra. Leurs expressions contiendront, avec x, y9 z, les fonctions 9, («<), 9* (a*),...» ?a(«*)» et les dérivées de ces diverses fonctions que la différentiation aura introduites. Il est clair, en effet, que si une équation contient la fonction 9 (a), la dérivée de cette équation, par rapport à l'une ou l'autre des variables indépendantes x et y, contiendra 9' (a) ; une seconde différentiation introduira 9" (a), et ainsi de suite. Les dérivées de zf calculées comme il a été dit, jusqu'à celles d'ordre n inclusivement, contiendront donc, dans leur expression, les £ fonctions 9, (a,), 92(aa)>---> 9*(«a) et leurs dérivées d'ordre inférieur à n + 1 , ce qui fait en tout (n-ht)t fonctions que l'on doit éliminer pour obtenir la relation cherchée entre z et ses dérivées. Mais en réunissant z à ses dérivées,

jusqu'à celles d'ordre n, le nombre total de ces fonctions est — — -> et, quel que soit k9 on peut choisir n assez grand pour que l'on ait

— - — >(m-i)Ar.

Le nombre des équations surpassant alors celui des quantités à éliminer, l'élimination sera toujours possible.

200. Lorsqu'une fonction 9 (a) figure dans une équation, la dérivée de cette

équation par rapport à a? ou par rapport à y contient toujours 9' (a). 11 résulte de

là que, en général, chaque dérivée de z contiendra une dérivée de la fonction 9

qui ne figure pas dans l'expression des dérivées d'ordre inférieur. Mais dans cer-

tains cas exceptionnels cette fonction nouvelle introduite par la différentiation disparait dans les éliminations et ne figure plus dans le résultat final. Soient, par exemple, les équations

On déduit de ces équations, en les difïérentiant par rapport à x, puis par rapport

dx «'(«)» dx"

f77- = 'TiJr ~T

dz '

, - n " a # / / x r / vT " a

On déduit des deux dernières

rfx 2f'(a)»-.[>--f(«)]^(a) (la. q/(a }

et, en substituant dans les deux autres,

<lz __ y— y(a,

rfr ?'(*) La dérivée 9" (a; figure donc dans les équations qui servent à déterminer les dérivées du premier ordre -7- et -y-> et disparaît cependant de leur expression finale.

201 . Il est important de distinguer, comme nous venons de le faire, le cas particulier où le calcul des dérivées de z n'introduit pas de dérivées nouvelles des fonc-